Bonjour,

 Cliquez pour afficher

ça sent le pigeon (hole)...
si on a N trous de pigeon et qu'il y a plus de N pigeons, au moins un trou contiendra deux pigeons
(en français on appelle ça le principe des tiroirs)

il y a ici plus de choix possibles pour un sous ensemble que de valeurs possibles de la somme (calculs de dénombrement laissé au lecteur)
donc au moins deux sous ensembles ont la même somme
on retire leur éventuelle intersection pour avoir au moins deux sous ensembles disjoints de même somme.

@mathafou

 Cliquez pour afficher

pas mieux !
(source : logique et calcul / Pour la Science en ce qui me concerne)

Bonjour,
J'ai louché

 Cliquez pour afficher

Question subsidiaire:
Peut-on remplacer 10 par un autre entier naturel non nul ?

@Sylvieg

 Cliquez pour afficher

oui... mais il faut quand même quelques contraintes pour que le théorème des tiroirs et et des chaussettes fonctionne.

prenons n nombres à deux chiffres

déjà n 90 puisqu'il n'y a que 90 nombres à deux chiffres

ensuite la plus petite somme d'une partie non triviale de E vaut au moins 10 et la plus grande vaut au plus

comme on peut faire parties non triviales dans E, pour être sûr que deux parties vont donner la même somme, il faut que

sauf erreur de ma part... et cela fonctionne à partir de n=10 ... condition suffisante.

@matheuxmatou,

 Cliquez pour afficher

Oui, c'est à peu près ce que j'avais vu avec le principe des tiroirs ; sauf que j'avais compté les parties triviales (avec 0 comme somme pour la partie vide).
Pour n 9 le principe des tiroirs ne fonctionne pas.
D'où la question : Peut-on trouver 9 nombres de 2 chiffres pour lesquels toutes les sommes sont distinctes ?
Pour moi ce n'est pas évident...

@sylvieg

 Cliquez pour afficher

tu as mis le doigt dessus ! effectivement mon raisonnement permet de voir que n10 est une condition suffisante pour que ça marche, mais ne prouve pas que c'est le minimum.

Faudrait effectivement en trouver une à 9 éléments pour laquelle cela ne fonctionne pas... aucune des 510 parties non triviales donnent 510 sommes différentes !

salut





est une partie à neuf éléments dont on peut extraire deux sous-ensembles disjoints ""de même somme""

et on peut même considérer E = {11, 12, 23} ...


matheuxmatou : je ne comprends pas ta somme maximale (200 - n)(n - 1)/2 ...

@carpediem

 Cliquez pour afficher

je n'ai jamais dit qu'aucun ensemble à 9 éléments fonctionnait ! J'ai dit qu'il en existait peut-être qui ne fonctionnait pas.

quand à ma somme maximale c'est en prenant (n-1) éléments les plus grands possibles, donc allant de (101-n) à 99 et en en faisant la somme.

Juste pour le fun, un ensemble de 5 nombres à deux chiffres pour lequel toutes les sommes sont différentes :

 Cliquez pour afficher

{ 15 ; 24 ; 33 ; 40 ; 59 }

ha oui d'accord !!

c'est ce que je pensais mais je l'ai fait à l'envers !!!

merci ...


je n'ai jamais dit le contraire ...

mais tu donnes une condition suffisante vraie pour n >= 10

il me semble qu'on ne peut pas utiliser une condition suffisante pour espérer obtenir moins que 10 ... puisque justement on peut en construire qui marche ...

ou plutôt et plus précisément il nous faudrait une condition (éventuellement suffisante) mais beaucoup plus contraignante sur n

...

Merci Sylvieg... bon ben il reste 6, 7, 8 et 9 :

Pour 6 :

 Cliquez pour afficher

{ 12 ; 15 ; 24 ; 33 ; 40 ; 59 }

@sylvieg

 Cliquez pour afficher

je te fais confiance... continue ! (ça occupe)

Pour 7:

 Cliquez pour afficher

10, 11, 12, 14, 17, 34, 68

J'ai vérifié

@Littlefox & Sylvieg

Bravo ... on approche.

Bonjour,
J'ai tenté n=8 à partir de l'ensemble avec n=7 de LittleFox.
De 10 à 99 , on trouve toujours un écart entre des sommes déjà obtenues. Impossible donc.
J'ai construit un autre ensemble avec n=7 , en m'inspirant de celui de LittleFox. Mais je suis un peu bloquée. Il se peut que n= 8 ne permette pas de trouver des sommes toutes différentes...
Je suis presque certaine que c'est impossible avec n=9 .
Approfondir cette histoire d'écarts entre les sommes pourrait-il permettre de le démontrer ?
Pour ceux qui ont envie de s'amuser, l'autre ensemble avec n = 7 :

 Cliquez pour afficher

{41, 75, 92, 95, 97, 98, 99}

Bonjour à tous
Je suis en train d'étudier un algorithme qui "brosse" toutes les combinaisons possibles. On verra bien car j'ai peur qu'une démonstration analytique pure soit vouée à l'échec.
Évidemment, la mise en œuvre d'un tel algo risque d'être fort longue donc il va falloir trouver des conditions d'arrêt.
Je vous tiens au courant mais je suis quasi certain comme Sylvieg que pour n = 9 ce ne dois pas être possible, mais ce n'est que dans ma ford intérieur.

merci de nous tenir au courant jsvdb.
personnellement j'ai cherché à affiner les tiroirs pour n=9 mais sans résultat pour l'instant.
mm

C'est trop lourdingue à mettre en œuvre et inutile car je pense que le raisonnement suivant devrait pouvoir mettre fin aux débats :

Si un tableau de nombre à 8 éléments est admissible (ie répond à l'énoncé) alors ses 8 sous-tableaux à 7 nombres sont admissibles.
Il est donc nécessaire de pouvoir trouver 8 tableaux distincts de 7 nombres admissibles pour en avoir un de 8, lesdits tableaux se distinguant deux à deux que d'un seul entier.

Or je pense que ...

Bonjour,

Dommage ,j'attendais l'algo ,il doit bien avoir un tirage de 9 qui ne donne pas d'égalité.
Avec un puissant ordi peut-être.

Cela signifierait qu'on pourrait alors trouver 9 tableaux admissibles de 8 nombres.
Vu que j'ai déjà de gros doute Pour trouver huit tableaux admissibles de sept nombres... alors 9 de 8 ...  tu vois ce que je veux dire ?

Moi aussi j'ai un gros doute pour 9

Au passage : un tableau admissible de 9 nombres impliquerait l'existence de 36 tableaux admissibles de 7 nombres.

Je propose donc de raisonnner par récurrence :
Combien de tableaux admissibles d'un seul nombre : 90

Combien de tableaux admissibles de deux nombres : (89*90)/2