Bonjour,

finalement il y en a qui sont intéressés

il n'y a à ma connaissance pas de formule.
pour les solides réguliers, il est peut être possible de faire des calculs "à la Polya", action de groupes de symétries, orbites, inclusions exclusions etc

En fait un patron représente un arbre dans le graphe dual du solide.
compter le nombre d'arbres n'est déja pas une mince affaire, en plus compter ceux qui sont différents "topologiquement" (sous l'action du groupe sus-cité) ...
mais on peut obtenir ainsi par la théorie des graphes quelques résultats.

on trouve dans le site "phare" sur les polyèdres, courbes, surfaces etc le nombre de patrons pour chacun des polygones réguliers (ça fait que 5) :
2 patrons pour le tétraèdre
11 pour le cube et l'octaèdre (solides duaux)
43380 patrons pour le dodécaèdre et l'icosaèdre (solides duaux)
mais pas grand chose sur le nombre de patrons "en général"

l'OEIS (encyclopédie des séquences de nombres) semble muette sur le sujet.

le cas d'un prisme droit à 6 faces me semblait au départ "relativement facile" mais il est vrai que le problème s'avère ... fastidieux !!

Bonjour mathafou,

Merci beaucoup de cette réponse, mais je n'ai pas tout compris...

Qu' est-ce qu'un "arbre dans le graphe dual du solide" ?
Je crois savoir ce qu'est un graphe, ce qu'est le graphe d'un solide ( grâce à l'excellent site mathcurve que je ne connaissais pas ), mais qu'est-ce qu'un graphe dual ?  Et un arbre dans un graphe ? Est-ce un chemin que l'on peut emprunter pour le parcourir?

J'avais en effet déjà consulté l'EOIS sans succès.

S'il n'existe pas de formule,  y a-t-il un moyen de minorer et/ou de majorer le nombre de patrons possibles ?

En somme, toutes ces réponses ne font que susciter d'autres questions...

oui c'est un vaste sujet ces histoires de graphes

déja prenons l'exemple du cube
le graphe du cube est matérialisé par ses arêtes, facile.
le graphe dual d'un graphe consiste à mettre un point au centre de chaque face et relier les points si les faces ont une arêtre commune.
c'est tout.
si tu fais ça avec un cube ... tu obtiens le dessin d'un octaèdre !
faire un patron du cube revient donc à tracer un "arbre" sur les arêtes d'un octaèdre.
la définition d'un arbre est un graphe sans circuits (en gros)

donc sur le graphe dual du cube, qui est celui là (un peu applati mon octaèdre je l'avoue), on peut tracer divers arbres par exemple celui en rouge.

les sommets de cet arbre représentent des faces du cube, reliées entre elles si elles se touchent dans le patron.
recenser tous les arbres "complets" possibles sur un graphe est un exercice classique en théorie des graphes, on trouve des algorithmes tout faits chez les théoriciens des graphes.
(un peu compliqué tout ça)

maintenant le problème est que certains de ces graphes sont "identiques" par permutation des faces du cube, c'est à dire par permutation des sommets du graphe dual.
C'est là qu'intervient le groupe des symétries du cube, ou sur le graphe dual le groupe des symétries de l'octaèdre, et on tombe de la théorie des graphes sur la théorie des groupes.
on peut définir une "orbite" qui est l'ensemble de toutes les positions du même arbre quand on lui applique toutes les opérations du groupe des symétries.

le problème revient donc à savoir combien il y a d'orbites distinctes en faisant "agir" le groupe sur l'ensemble des arbres obtenus.

comme tu le vois il y a pas mal de théories diverses mises en oeuvre,
et à défaut de formules, on trouve au moins des algorithmes.

le cube peut se résoudre "facilement" à la main
le cas du tétraèdre est "trivial", il est son propre dual
son graphe est très simple :

et il n'y a que deux "orbites" pour les arbres possibles

pour les 43380 patrons du dodécaèdre ... il ne faut même pas y songer, il faut faire confiance "aux programmes"

Merci beaucoup pour cette réponse très détaillée !

Par conséquent, si on résume, pour connaître le nombre de patrons possibles, on trace le graphe dual du solide (qui est aussi le graphe du solide dual du solide étudié), on comptabilise le nombre d'arbres possibles à l'aide d'un algorithme utilisant la théorie des graphes, puis on en utilise un autre pour connaître les arbres qui sont topologiquement différents à l'aide de la théorie des groupes.
Je suppose que c'est cette complexité et notamment celle des algorithmes qui rend le calcul difficile...

Je te remercie de m'avoir aidé à comprendre ce problème difficile !