Petit défi: une intégrale.

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Petit défi: une intégrale.
Posté par 
cailloux   30-06-07 à 13:06
Niveau Bac+1 accessible à certains TS "avancés" 

Calculer 
 Posté par 
Nightmarere : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 13:12
Salut cailloux 

Avant d'aller manger :

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 J'utiliserai le résultat :

Si f continue et que de plus f(a+b-t)=f(t) alors :

Ici ça marche parfaitement :

 Posté par 
cailloux re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 13:16
>> Nightmare.

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Le résultat est exact  et la solution rapide: bravo! La solution que je proposerai ressemble beaucoup à la tienne. 
 Posté par 
moctarre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 13:29
Bonjour,

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Posons:

* donc 

* donc 

Donc en intégrant par partie on a :

Je ne connais pas une primitive de  

Un petit indice ?
 Posté par 
cailloux re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 13:38
Bonjour Moctar

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Il est illusoire de chercher une primitive de l' intégrande (je ne pense pas que l' on puisse l' écrire à l' aide des fonctions usuelles). Donc, une astuce  : essaie de démontrer que:

 et utilise cette formule à bon escient 
 Posté par 
monrow re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 13:40
Bonjour 

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Je pose:  Donc: 

 et 

Donc l'intégrale va devenir sous la forme:

=
 Posté par 
lyonnaisre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 13:44
Bonjour cailloux 

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Notons :

On utilise le changement de variable x = pi - u

Après justification ... On obtient :

Soit :

D'où :   

Romain

 Posté par 
cailloux re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 13:49
>> Monrow

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Tu as des erreurs de calculs 
 Posté par 
cailloux re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 13:51
Bonjour Lyonnais,

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C' est exactement la solution à laquelle je pensais 
 Posté par 
monrow re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 14:02
cailloux>>

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Je ne vois pas où sauf une faute de frappe à la fin, c'est racine de 2t et pas de x 
 Posté par 
lyonnaisre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 14:07
monrow 

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La dérivée de 

n'est pas :

Romain

 Posté par 
monrow re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 14:08
lyonnais>>
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 Tout à fait 
 Posté par 
cailloux re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 14:11
>> Monrow

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Ton intégrale en t n' est pas de la forme  en posant :

 Posté par 
moctarre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 14:24
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s'il faut un changement de variable alors je capitule,car c'est pas un truc que je maitrise 
 Posté par 
cailloux re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 14:27
>> Moctar

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Oui, il en faut un, mais très simple: du genre 
 Posté par 
moctarre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 14:39
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ok,je vais essayer
 Posté par 
john_kennedyre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 15:56
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Calculons 

Posons 

On sait que si f est continue et si f(a+b-x) = f(x) alors on peut écrire:

Or .... (justification)

Donc on a que:

Par contre, si quelqu'un avait la gentillesse de m'expliquer comment on fait un changement de variable correct pour une integrale, ca serait cool 

J'ai essayé avec les règles de Bioche en posant , ou encore u(x) = cos(x), mais j'y arrive pas, j'ai une intégrale avec un (-du)... bref j'y arrive pas 
 Posté par 
Nightmarere : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 15:58
A quelques mots près...
 Posté par 
lyonnaisre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 16:02
" A quelques mots près... " En effet 

john_kennedy >>

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En faisant le changement de variable u = pi - x .

Certes du va avoir du (-du), mais il va te falloir aussi changer les bornes d'intégration. Ok ?

 Posté par 
cailloux re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 16:15
>> JFK

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Ta solution est très bonne  (oubli du carré final).

Pour ce qui est du changement de variable, un exemple utile ici:

Démontrons que ,  étant intégrable sur 

En posant ,  

et 
 Posté par 
moctarre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 16:19
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en sahant pas encore montrer que  je vais seulement me contenter d'utiliser le résultat.

alors 

donc 

Est ce juste ? 
 Posté par 
cailloux re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 16:21
>> Moctar

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Très juste! 
 Posté par 
moctarre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 16:22
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ok.merci 
 Posté par 
john_kennedyre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 17:15
>>>Nightmare

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eh oui, comme quoi lire tes anciens posts ca sert aussi  :

https://www.ilemaths.net/sujet-integrale-125387.html
 Posté par 
john_kennedyre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 17:21
caillou >>>

lyonnais >>>

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Merci à vous deux. Je comprend mieux comment on retombe sur nos pattes.

Mais quand on remplace par exemple sin(x) par u(x), comment peut-on s'en sortir? (Règle de Bioche?)
 Posté par 
john_kennedyre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 17:28
Au temps pour moi, j'ai écorché ton pseudo:

cailloux

 Posté par 
cailloux re : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 17:40
>> JFK

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Encore un exemple: (la règle de Bioche te donne le changement de variable à  effectuer pour l' intégration de fonctions trigonométriques)

Tu as été amené à calculer 

Evidemment, on trouve une primitive à vue, l' intégrande étant de la forme  avec 

Effectuons le changement de variable  d' où  :

  Posté par 
john_kennedyre : Petit défi: une intégrale.  30-06-07 à 17:54
cailloux >>>

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OK j'ai compris. Merci beaucoup.