Salut

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Une application directe de Fermat non?

Nightmare >>

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Ya du Fermat, mais de là, à dire que c'est direct, ...

Ca intéresse personne mon exo?


Ayoub.

En blanké, c serait mieux.

J'ai du mal me faire comprendre.

Je retape l'énoncé...

Oups désolé
De toute façon j'ai fait une grosse erreur, donc ça ne donnera aucune indication aux suivants

eh bah... il est pas simple hein! Faut que je dérouille un peu, ca fait depuis le bac que j'ai pas touché un stylo !

OK. J'ai trouvé un truc, mais je ne suis pas certain de la réponse, c'est p-e un peu vaseux.

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J'ai traduit l'énoncé de la façon suivante:
"Si q divise (x+1)^p- x^p alors q est de la forme np+1 ".

Donc, on fait l'hypothèse qu'il existe q premier tel que bq = (x+1)^p- x^p
Alors (bq)^p-1 = [(x+1)^p- x^p]^p-1

Or d'après le théorème de Fermat, [(x+1)^p- x^p]^p-1 - 1 0 (p)
Donc par transitivité, on en déduit que (bq)^p-1 - 1 0 (p)

Cette hypothèse est confirmée du fait que p est premier, et q est premier: q n'est pas divisible par p et on peut écrire en utilisant le théorème de Fermat que:
q^p-1 - 1 0 (p)  (1)

D'autre part:
np est divisible par p.
Donc np + 1 n'est pas divisible par p. (la flemme de faire la dém, mais on sait tous pourquoi np+1 n'est pas divisible par p )

Donc, en utilisant le théorème de Fermat, on peut écrire que:
[np + 1]^p-1 0 (p)  (2)

Par suite, on peut dire en utilisant (1) et (2) que q est de la forme np + 1.

Petite erreur dans mon texte dans les dernieres lignes...

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Evidemment, la (2) est [np + 1]^p-1 - 1 (0)

Quant à la généralisation du théorème, je ne sais pas...
Peut etre suffit il simplement de dire qu'il existe un ensemble infini de nombre premier...? Ca me parait un peu léger, mais du premier coup d'oeil, je ne vois pas.

Je vais me tuer je crois, un modo veut bien m'efface mon deuxieme message?
Je re-refais:

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Evidemment..., la (2) est [np + 1]^p-1 - 1   0 (p)

Moi*

J'ai dit "je crois", c'est à dire que je n'en suis pas encore sûr

Je disais ça par rapport à ton pseudo

_{Je sors..}

Bien joue kevin, tu m'as devance

Reste a savoir si c'est JFK ou JJK

Salut minkus

ca reste JFK... pour moi, il est encore en vie

@infophile : j'ai du mal décidement ce soir....

JFK >>

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Je comprends (1) et (2). Mais ton raisonnement final, tu le sors d'où? C'est un théorème que je connais pas?

1 Schumi 1 >>

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Heu... (1) et (2) ne suffisent pas à déduire que q est de la forme np + 1 ?

john_kennedy >>

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Pas à ma connaissance. Ou sinon, faudra que tu m'expliques.

Un indice ?


Ayoub.

oui un indice stp !

john_kennedy >>

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Pour moi, t'es complètement à côté.
Voici donc un indice.
On veut démontrer .
On appelle S l'ensemble des entiers naturels k non nuls tel que et on note plus petit élément de cet ensemble. Tu peux commencer par montrer que tout élément de S est un multiple de .

Schumi >>>>

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Ok, on démontre que tout élément de S est un multiple de n₀ par récurrence.
Cela permet de poser p = n₀*b tel que 0 < b p
A partir de là on a np+1 = n₀*nb + 1.
D'un autre côté, on a le théorème de Fermat qui dit que q^p-1 - 1 0 (p)

Je cherche, je cherche...

Schumi >>>

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Un instant... p est un élément de S et p est premier donc p = n₀.
Par suite on peut écrire que:


Il faut donc démontrer que

On suppose premier. Alors d'après le théorème de Fermat, on a:


D'où
Et nécessairement, c'est à dire que

Il ne reste plus qu'à démontrer que est premier.
On raisonne par l'absurde: on suppose que n'est pas premier et donc qu'il existe un plus petit entier non nul tel que,
soit premier et divise k+1:
*z = k+1
*z = np+1
p et étant tout deux premiers et (k,k+1) étant consécutif heu.......ben je dirai qu'une solution de l'équation est:
= 3, z = 1
p = 2, n = 1
Or si = 3 et z = 1 alors k+1 = 3 et donc k+1 est premier
Absurde avec la supposition de départ!!

Donc est premier, et on a démontré que tout nombre premier q qui divise est de la forme

________________________________________________


Bon c'est fait à l'arrache hein , ma démonstration par l'absurde est totalement bancale.... et jsuis trop crevé pour réfléchir davantage. J'attends encore quelques éclaircissements.

Oulalala, C'est quoi ces horreurs! Mon Dieu que c'est horrible.
Je te rassure, c'est pas par récurrence, c'est une méthode directe.

Tu veux assister au second assassinat de JFK ou quoi?

Donne moi la réponse, jme rend

Tu rends les armes? Lâche! Honte sur toi!
Non, je plaisante.

Alors voilà, comment moi, je l'ai fait.

Soit S l'ensemble des entiers naturels non nuls k tel que (x+1)^k-x^k\equiv 0 (mod q).
S est non vide (il contient p). Il contient donc un plus petit élément n_0.

Soit n un élément quelconque de S. Ecrivons la division euclidienne de n par n_0.
On a et

Comme q est premier avec x, on a que . Cela signifie que soit r appartient à S (impossible car r est inférieur à n_0, plus etit élément de S). Donc r=0 et n_0|n.
De plus, par hypothèses, . Donc ou (impossible) ou .
Le plus petit élément de S c'est p et il divise tout autre élément de S.
On vérfie facilement que q-1 est aussi élément de S.
Donc,
.


Ayoub.

Bon, j'avais déjà démontré que p plus petit élément de S ...
... suffisait juste de dire que q-1 est aussi un élément de S... ahlalala j'ai été nul sur ce coup

Mais heu, de façon générale, je n'y aurai pas pensé à poser S ensemble des entiers naturels non nuls k tel que (x+1)^k-x^k\equiv 0 (mod q)... qu'est ce qui t'a mené à posé un tel truc?

Heu n₀ = 1 est impossible vu que p est premier et p est un élément de S donc nécessairement n₀ = p (je sais, je vais me mettre au tricot )

OK, bah je vais tenter de la retenir, c'est vrai que c'est quand même très pratique.
Tu es en terminale(j'en doute), sup(j'en suis déjà un peu plus sûr, mais réservé) ou en spé(j'en suis casiment certain ) ?

john > En terminale

la blague, il est vraiment tres fort

Moi j'attend encore les résultats de ce ***** de *** !

Donc jsuis entre la Tle et la sup , mauvaise posture