Joli joli tout ça! Merci!

Le blanqué ne marche plus . Désolé.

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1) De façon triviale, avec est impossible. Il suffit donc de montrer que est impossible pour tout . Or, est forcément un multiple d'un certain donc sera aussi un multiple de ce qui n'est pas possible car est premier.

2) J'utilise la récurrence. En effet, pour . Supposons vraie la propriété au rang n. Ainsi, d'apres le 1), ce qui conclut la récurrence.

3) La partie de droite est évidente (on pourrait utiliser la récurrence). Par contre, le noyau concerne la partie de gauche. Je vais réfléchir .

En fait, pour le 1), j'élimine toutes possibilités pour les entiers jusqu'a l'infini. Ensuite, je me concentre de montrer que ce n'est pas non plus possible pour les entiers compris entre 2 et . Les seules possibilités sont donc pour 1 et moins.

Quand je parle de "possibilité" ça concerne l'entier juste apres le produit. (C'est pas clair, je sais )

Sinon, pour le blanqué, comment tu fais pour l'enlever? Tu as les avantages de modo?

Oui j'ai compris sur le tard ta démo. Donc oui, c'est bon aussi pour le 1).
Il ne reste donc plus que la partie intéressante du problème. A vos crayons!

Euh non, je ne suis pas modo. Mais c'est juste que le blanké ne peut s'afficher que dans le forum expresso (il a été créé pour ça justement). Quand un modo (un vrai) a vu ta remarque, il a déplcé le topic du forum "lycée" au forum "expresso". Le blanké est donc apparu.


Ayoub.

Bonjour,

pour le blanké, c'est tout simplement parce que ce message n'avait pas été posté dans le forum "Expresso" au début, mais il a été déplacé, car le forum "Lycée" n'est pas destiné aux "défis" mais à l'entraide.

Ok, bien vu.


Ayoub.

Ok jamo, j'essaierai d'y penserla prochaine fois.


Ayoub.

Bonjour

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La première question est assez classique, le produit augmenté de 1 en question est un entier non divisible par aucun des n premiers nombres premiers, donc son plus petit diviseur premier est supérieur ou égal à tout en étant plus petit au nombre lui même, d'où .

La deuxième question découle de la première par récurrence.
En effet, ceci est tout d'abord vérifié au rang 1.
Supposons que ce soit également le cas jusqu'au rang n, on a alors :






Pour la troisième question, l'inégalité de droite est évidente par définition.
Reste encore l'inégalité de gauche.

Soit x un entier naturel.
On note m le plus grand entier naturel tel que
On a alors de façon claire (d'après la question précédente)
Or, et (par croissance du logarithme) soit par maximalité de m.

Il reste à montrer que à partir d'un certain rang, ce qui découle du fait que :

et puisque , cette quantité tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus l'infini, ce qui n'est autre chose que de dire que l'inégalité précédente est bien vérifiée à partir d'un certain rang (la partie entière ne pose pas de problème)

Est-ce correct?

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Comment donner tort à un gagnant du CG?
T'as tout bon. Petite remarque seulement: il faut généraliser le résultat aux réels comme demandé, mais bon, ça c'est por chipoter.
Pour la question 3) ya plus simple, si on remarque que pour

1 Schumi 1 ->

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Effectivement, j'avais pas remarqué que x devait être réel, vu qu'habituellement on ne s'occupe que du cas où x est entier
De toutes façons, il me semble que ma démo marche aussi dans le cas où x est réel

Pour la question 3, effectivement je me disais bien qu'on pouvait se passer de complications comme ça

Fractal >>

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T'as raison, c'est pas plus compliquer puisque ln est strictement croissante. M'enfin bon.

Remarque: un célèbre théorème affirme:


Désolé, mais j'arrive à mettre l'équivalent en LaTex.

Schumi > \sim

Salut tout le monde

Merci Kévin.

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Donc je disais, un célèbre théorème affirme:

1 Schumi 1 ->

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Tu m'as mal compris. Quand j'ai parlé de "complications comme ça", cela se référait à mon logarithme de base 2. C'est à mon avis bien plus simple d'utiliser ton idée
(encore faut-il démontrer l'inégalité, mais ce ne doit pas être si dur que ça)

Fractal >>

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J'avais effectivement pas compris ton "complications comme ça".
Passer par l'inégalité avec l'exp est de loin plus simple. Mais bon, encor faut il penser à un truc pareil. Non, c'est pas si dur à démontrer, de toute façon c'est pas le plus important.

Gagnant du concours général! Bravo Fractal! (ou est-ce que l'on peut trouver la liste?)

C'est confidentiel!