Petite amusette 2011

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Petite amusette 2011
Posté par 
Camélia   01-01-11 à 14:28
Misère... 2011 est un nombre premier! Ce qui limite mes déchainements traditionnels de Nouvel An!

Donc n'importe quel groupe ayant 2011 éléments est cyclique et isomorphe au groupe additif . On sait que si on munit ceci de la multiplication des classes on trouve le seul modèle possible de corps ayant 2011 éléments.

Alors question: existe-t-il d'autres anneaux ayant 2011 éléments? (unitaires ou non, commutatifs ou non...)

... et quand même: Bonne année à tous! 
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freniclere : Petite amusette 2011  02-01-11 à 19:48
Bonjour Camélia, et bonne année !

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Bon, juste pour faire avancer le Schmilblick, voici un anneau commutatif (mais pas unitaire).

K = /2011 avec 

l'addition usuelle 

et la multiplication extrêmement compliquée que voici :

Pour tout (a,b) K, ab = 0.

Je n'en ai pas trouvé d'autre, mais évidemment, ça ne veut rien dire...

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plumemeteorere : Petite amusette 2011  03-01-11 à 00:31
Bonjour Frenicle.

Je viens de remarquer que ton système n'est pas un anneau, car sa seconde opération () n'a pas d'élément neutre.
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freniclere : Petite amusette 2011  03-01-11 à 10:49
Bonjour Plumemeteore

Tu as raison, mais Camélia a précisé que les anneaux cherchés pouvaient être non unitaires. J'applique les règles du jeu 
 Posté par 
Camélia re : Petite amusette 2011  03-01-11 à 14:07
Rebonjour et re-Bonne Année

> frenicle Merci de participer...

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Il n'y en a pas d'autres... j'ai plutôt surprise de ne pas trouver de non commutatif, mais c'est la vie...
 Posté par 
jandri re : Petite amusette 2011  04-01-11 à 10:19
Bonjour Camélia,

Le résultat est le même pour n'importe quel nombre premier p:

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Pour définir un anneau (A,+,*) à partir du groupe additif , il suffit de définir le produit a=1*1 ; on en déduit alors pour tout couple (x,y): x*y=(xy)a , puisque x=1+1+...+1 (x fois).

Il y a deux cas:

a=0 qui entraine pour tout (x,y) : x*y=0 (c'est un anneau commutatif non unitaire).

. L'unique b tel que ab=1 (dans ) est alors élément neutre pour la loi *. L'application  définie par  est un isomorphisme du corps  sur l'anneau (A,+,*).

Il n'y a donc que deux anneaux répondant à la question (à un isomorphisme près).

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Camélia re : Petite amusette 2011  04-01-11 à 14:07
Bravo jandri (je fais de mon mieux pour maintenir les traditions!)
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1 Schumi 1re : Petite amusette 2011  12-01-11 à 06:07
Salut 

Camélia >> Le calme avant la tempête. Pour 2012, ça va être mythique...

  Posté par 
Camélia re : Petite amusette 2011  12-01-11 à 14:09
Salut Ayoub. Les années se suivent et ne se ressemblent pas!