Techniquement non, mais puisque R²~C, tu peux dire que c'est pareil.

comment ca?

R²C ça veut dire que R² et C sont isomorphes donc qu'il existe une bijetction de R² dans C, ou si tu veux qu'à chaque couple de R² de la forme (a,b) tu peux associer un unique nombre complexe de la forme a+ib.

ah oui j'ai compris,

donc comme on peut ecrire une fonction de RxR vers RxR,
et que RxR environ egal a C, cette fonction va aussi de C vers C ...

Correct?

Mais l'equation fonctionelle d'une translation de vecteur u daffixe z, c'est

a+ib = (a+ib) + z

c'est bien une fonction de C vers C, Donc ca veut dire que c'est en fait une fonction de RxR vers RxR?

si z = a' + ib'
alors
f : RxR -> RxR
et f : (a,b) -> (a+a' , b+b')  est une translation de vecteur u

c'est correct?

Je crois que tu t'emmêles un peu les pinceaux. Une fonction de C dans C n'est pas une fonction de R² dans R²...
En fait comme ce sont  des espaces isomorphes, ils se comportent de la même façon mais ce n'est pas exactement la même chose...

alors,

ma question na toujours pas de reponse :

est ce qu'une transformation de P vers P, c'est une fonction de C vers C.

otto m'a dit que puisque RxR environ egal a C, on peut dire que c'est pareil...

Mais est ce qu'une transformation de P vers P, c'est une fonction de C vers C?

cinnamon : "ils se comportent de la même façon"

d'un point de vue algébrique tu entends ?

C'est pareil à isomorphisme près

N_comme_Nul, je sens la question piège, je préfère m'abstenir

ah d'accord, d'un point de vue algebrique, mais pas forcement d'un point de vue annalytique

ok merci

Si l'on veut faire par exemple quelque chose avec des fonctions continues, pour dire que c'est "pareil", alors il faut trouver un homéomorphisme.
Si l'on veut quelque chose avec des fonctions différentiables, pour dire que c'est "pareil", alors il faut trouver un difféomorphisme
Et pour les propriétés algébriques il nous faut un isomorphisme.
etc.

non

Ils se comportent pareil d'un point de vu algèbrique et d'un point de vu topologique (isomorphes et homéomorphes)
Attention à deux choses:
-Environ égal n'a aucun sens.
-Etre isomorphe ne signifie pas être en bijection. Notamment R et C peuvent être mis en bijection.

Pour ta question Redman, on y a répondu:
Le plan comme tu l'entends c'est R², et C ce n'est pas R². Cependant puisque C~R², donc on peut les identifier.

C'est comme si tu dis:
est ce que R= l'ensemble des fonctions (réelles) constantes?
La réponse est non, mais on peut les identifier de manière triviale.

Pour etre difféomorphe il faut construire une structure différentiable, c'est à dire qu'il faut plus qu'une simple structure topologique.

Donc en gros, ils se comportent de la même façon de façon algébrique, c'était la bonne réponse  ?

Oui, c'est assez simple:
de R² vers C
f:=(x,y)->x+iy
Notamment cette fonction est un isomorphisme (de R espace vectoriels) et également un homéomorphsime (pour la topologie usuelle)

En fait, j'ai quelques questions. Tu dis otto qu'Etre isomorphe ne signifie pas être en bijection.
Je pense qu'être en bijection est une condition suffisante pour être isomorphe mais je n'en suis pas sure. Est-ce le cas ?

"f:=(x,y)->x+iy
Notamment cette fonction est un isomorphisme (de R espace vectoriels)"
Les isomorphismes d'espaces vectoriels sont forcément bijectifs, non ?

Qu'est ce qui est nécessaire pour avoir un isomorphisme ?

Merci.

Pour être un isomorphisme, il faut déjà être un morphisme non?
Ici il y'a quelque chose d'algèbrique qui différentie beaucoup R² et C, c'est que l'un est muni d'une structure de corps, et pas l'autre.

Ca change beaucoup la structure algèbrique, et pas que ça.
Notamment, ici on peut définir une notion de dérivabilité, que l'on ne peut pas définir dans R². Ca change beaucoup de choses, puisqu'être dérivable dans C est quelque chose de vraiment très fort, et bizarrement, les comportements locaux peuvent définir les comportements globaux.

Je n'ai pas vraiment eu la réponse que j'attendais mais je m'en contenterai. Je chercherai par moi même (un mois et demi sans algèbre, c'est beaucoup trop long, je perds un peu la mémoire...).
Merci quand même otto.
à+

Je t'ai répondu, un isomorphisme est un morphisme qui en plus en bijectif.
R et C sont en bijection, mais ne sont pas isomorphes par exemple.
De même il existe un morphisme (de R-ev) de R vers C, mais il n'est pas bijectif.
Pourtant R et C ne sont pas isomorphes en tant qu'espaces vectoriels.

OK merci. En fait, il manquait la notion de morphisme dans ce que j'ai dit à Redman tout à l'heure... Je n'avais pas vraiment compris où tu voulais en venir tout à l'heure et je commençais à douter de ce que j'avais appris cette année...Désolée pour mon post de 14:28.

à+

La notion de morphisme confère justement cette notion de comportement. Tu prends deux éléments x et y de R², si tu leur appliques des opérations, elle se transportent par le morphisme vers C.
Le caractère bijectif joue le rôle inverse en quelque sorte.

Qu'est ce que tu as voulu dire par le rôle inverse ?

C'était une image, je voulais dire qu'il fallait qu'on puisse passer de C vers R² en conservant les opérations, c'est le morphisme réciproque qui te le permet. Finalement, si on passe de R² vers C puis de C vers R², on aimerait ne pas bouger, et ce pour tout x dans R². C'est la bijection qui te permet ça.

OK merci