Bonjour,
ta somme est finie, comment peut elle tendre vers ln(2)?

Autre chose, ici tu as une somme des fractions, notamment même très grande (ici 665*2) ça peut encore se mettre sous forme de fraction ( (Q,+) est un groupe).

Salut romain,

En se servant du développement en série de ln(1+x)= x-x²/2+x^3/3-x^4/4+...
et en remplaçant x par 1

tu trouves la limite de ta série.

Philoux

>> otto :

trouvé sur ce site :

* image externe expirée *
peux-tu m'aider alors à exprimer cette fraction ?

>> merci pour ta réponse philoux

je ne savais pas que :



donc ici faut que j'aille jusqu'a    ?

avec x = 1 bien sur ...

PS : comment démontre-t-on cette expression ? un lien ?

merci de vos aides

Philoux, ici ca va marcher, attention cependant, on peut faire dire beaucoup de choses aux séries entières sur le bord de leur disque de convergence.

Lyonnais:

cependant le membre de droite a une limite et pas le membre de gauche.

>lyonnais

hormis les inverses opposés (qui est en produit), les autres valeurs sont des limites qd n -> +oo

=> pas de formulation en N.

Peut-être un encadrement avec la constante d'Euler

Philoux

>otto 10:33

attention cependant, on peut faire dire beaucoup de choses aux séries entières sur le bord de leur disque de convergence

Justement, avant de poster je me posais la question...

Je te l'ai (sous une autre forme) sûrement déjà demandé, mais ici, comment s'assurer que x=1 est bien dans le disque de convergence ?

Merci

Philoux

Salut,
ici on utilise une version faible du critère d'Abel, le critère spécial des séries alternées de Leibnitz
De mémoire ça dit que si tu as une suite convergente et décroissante vers 0 en module, alors la somme de la série converge. (et on peut estimer le reste)
Ici Un=(-1)^n/n

>otto

post croisés

as-tu une réponse à 10:35

Merci

Philoux

Philoux, je répondais précisement à ton post de 10h35
ici tu poses pour x=1 ca devient

et tu appliques le critère de Leibniz:
1/n décroit et converge vers 0.
Donc
converge bel et bien

Otto 11:33

Ok : ça prouve que je n'avais pas compris

Une question corrolaire :

si x=0,5 ca converge aussi ?

tu dis :

1/n décroit et converge vers 0.

mais si on n'avait pas eu le signe moins de (-x)^n,cad avec Somme(1/n), la suite aurait divergé, non ?

Philoux

Oui exactement philoux, il faut que la série soit alternée (je ne l'ai pas précisé, mais ca coule de source puisque le critère s'appelle critère des séries alternées )
Une série est alternée si U(n)U(n+1)<0 pour tout n.

Pour répondre à ton autre question (puissance de l'analyse complexe...) si tu montres la convergence d'une série entière (ie un polynôme infini en quelque sorte) pour un x tel que |x|>0 alors tu montres également la convergence pour tous les y tels que
0<|y|<|x|
Le plus grand |x| est appelé rayon de convergence.
Ici on l'a montré pour x=1 donc |x|=1 , donc il va y'avoir convergence pour tout réel (resp complexe) y tels que |y|<1.
Notamment pour y=0.5

A+

ps: au pire tu appliques le critère à ta nouvelle série ou tu appliques d'autres critères (d'Alembert, Cauchy).

Ok

Dans l'absolu, pour une fonction quelconque, quelle est la méthode pour déterminer ce fameux rayon de convergence ?

Ca semble directement lié à l'écriture du polynôme ou de la fonction de x?

Tu vas sûrement te répéter car il me semble qu'on avait déjà abordé le sujet, mais c'est encore trop ... vague.

Merci

Philoux

Salut,
dans le cas général c'est pas forcément évident.
Il y'a une condition très forte, c'est d'être le plus grand disque ouvert sur lequel la fonction est dérivable au sens complexe.

Ici on voit facilement l'idée (ça rejoin un ancien post sur le sujet):
f:=x->ln(1+x)
On voit déjà que la fonction n'est pas définie au delà de x=-1.
Notamment elle ne peut pas être dérivable là où elle n'est pas définie.
Or elle est dérivable là où elle est définie, donc sur ]-1,0] et puisque la convergence se fait sur un disque on a la convergence de l'autre coté donc sur [0,1[ et donc finalement sur ]-1,1[.

Sinon il y'a les règles classiques, on regarde le rapport des termes successifs et s'il converge en module vers quelque chose de strictement supérieur à 1, la série diverge, si c'est vers quelque chose d'inférieur strictement à 1, elle converge, si c'est vers 1 on ne sait pas dire (il faut faire une étude plus fine qui dépend du cas à étudier).
Sauf erreur
A+

>> philoux & otto :

j'ai posé cette question, car je voulais trouver la réponse à l'énigme suivante :

Soit r et m deux entiers naturels tels que :

r/m = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1330 + 1/1331

et r est le plus petit entier naturel qui vérifie cette égalité
Montrer que p est un multiple de 1997 ...

Vous voyez une autre méthode ?

oups, c'est :

Montrer que r est un multiple de 1997

personne n'a une idée ?  

toujours personne ?

Salut je n'ai pas eu trop le temps d'y réfléchir mais voici un myen d'y arriver
en fait puisque 1997 est un nombre premier il suffit de vérifier que

Mais bon je ne suis pas sur que cela aide plus que de faire le calcul à la main.
J'y réfléchirai peut etre un peu plus demain

E fait je viens de réagir qu'il suffit donc que

Ce qui est évident puisque si et seulement si
Ainsi la somme est clairement nulle
Si tu veux plus de détails je préciserai demain car j'ai en tête des outils peut être un peu compliqué mais cela peut se rediger assez facilement.

merci bcp titimarion

Je veux bien plus de détails si ça ne te dérange pas  

Alors à demain ...

Re,
je pense avoir trouvé un moyen assez simple de l'expliquer.
en effet si l'on considère ta somme
on a
Avec
Cependant est un diviseur de il ne peutdonc pas être divisible par 1997 qui est un nombre premier, ainsi nécessairement 1997 divise r.

je suis désolé titimarion, mais je ne comprend pa tout, mais merci quand même pour l'explication

je ne comprend déjà pas à partir de :



si tu pouvais m'expliquer ...

merci en tout cas pour ton aide

C'est parce qu'en fait il faut lire
en effet tu peux observer que 1331=1997-666
1330=1997-665etc...
Ensuite tu mais au même dénominateur et tu obtiens la forme factorisé que j'ai mis après.

ok , je crois que j'ai tout compris maintenant

merci beaucoup ...

++ sur l'

De rien, il faut que je fasse attention quand je tape sous latex, il m'arrive de ne pas relire et qu'il y ait des petits soucis du coup de compréhension.