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PGCD de nombres avec inconnues

Posté par
leof01
29-11-17 à 21:26

Mon exercice est :
Soit n un entier, A = 3n + 5 et B = 2n - 1.
1.Montrer que 2A - 3B = 13.
2.En déduire les valeurs possibles du PGCD de A et B.

J'ai réussi à prouver la 1 mais je bloque sur la 2. Est ce que quelqu'un peut m'aider?

Posté par
Yzz
re : PGCD de nombres avec inconnues 29-11-17 à 21:29

Salut,

Tout diviseur de a et b divise aussi ka + k'b

Posté par
flight
re : PGCD de nombres avec inconnues 29-11-17 à 22:20

salut

tu peux aussi effectuer la division euclidienne de A par B   tel que  A=BQ + R
et utiliser Pgcd(A,B)=Pgcd(B,R)

Posté par
flight
re : PGCD de nombres avec inconnues 29-11-17 à 22:22

oups ne pas tenir compte de mon dernier message ... pas adapté du tout

Posté par
leof01
re : PGCD de nombres avec inconnues 29-11-17 à 22:23

Et donc après je dis que le diviseur de A et B divise 2A - 3B donc 13. Et ensuite il faut dire que les diviseurs de 13 sont (-13; -1; 1; 13) et par conséquent que le PGCD est 13?

Posté par
flight
re : PGCD de nombres avec inconnues 29-11-17 à 22:23

..c'est bien resumé par yzz que je salue

Posté par
flight
re : PGCD de nombres avec inconnues 29-11-17 à 22:25

oui le pgcd est 13

Posté par
PLSVU
re : PGCD de nombres avec inconnues 29-11-17 à 22:34

Bonsoir,
Ce n'est pas le seul...

Posté par
leof01
re : PGCD de nombres avec inconnues 29-11-17 à 22:34

Mais si on prend n=1 le PGCD est 1 donc je ne comprends pas.
De plus, on a dit que tout diviseur (d) de A et B divise kA + k'B mais si on prends k=4 et k'=6 on va trouver que d divise 14, pourquoi n'est il pas le PGCD? J'espère que vous me comprenez.

Posté par
PLSVU
re : PGCD de nombres avec inconnues 29-11-17 à 22:43

Soit n un entier, A = 3n + 5 et B = 2n - 1.
si tu prends k=4 et k'=-6  ,pour pouvoir éliminer les termes en n
4(3n+5)-6(2n-1)=20+6=26
si  les nombres A et B sont premiers entre -eux  alors PGCD(A;B)=1 et 1 divise 13  
1 divise 26..
si PGCD(A;B)=13 et  13 divise 26.

Posté par
leof01
re : PGCD de nombres avec inconnues 29-11-17 à 22:56

Il me semble que j'ai compris, je vous remercie tous pour vos réponses.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : PGCD de nombres avec inconnues 30-11-17 à 08:26

Bonjour,

Citation :
En déduire les valeurs possibles du PGCD de A et B.

Les valeurs possibles sont les diviseurs positifs de 13 . C'est à dire 1 et 13 .

Un petit prolongement :
Si n = 13k+7 alors le PGCD est 13 .
Si le reste de la division euclidienne de n par 13 n'est pas 7 , alors le PGCD est 1 .

Posté par
flight
re : PGCD de nombres avec inconnues 30-11-17 à 08:46

daccord avec sylvieg

3n+5 = k.d  
2n-1 = k'.d

on mutliplie la premiere equation par 2   on a  6n+10 = d.(2k)
la seconde par 3 on a  6n-3 = d(3k')

par difference membre à membre  on a   13 = d.(2k-3k')   comme 13 est premier

d peut etre que 1 ou 13

Posté par
leof01
re : PGCD de nombres avec inconnues 02-12-17 à 11:31

Merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : PGCD de nombres avec inconnues 02-12-17 à 13:42

De rien, et à une autre fois sur l'île



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