Puisque que PGCD(a;b) = 1 alors a et b sont premiers entre eux.

De ce fait le produit (ab) ne se divise que par a et b seulement. Donc a+b n'est pas un diviseur de (ab). Voilà pourquoi PGCD(a+b; ab)=1.

Sì a et b sont premiers entre eux alors ab se divise seulement par a ou b ??? Pas forcément!
Par exemple 4 et 3 sont premier entre eux  et 12 est divisible par 2 .

Supposons que a b et a + b ne sont pas premiers entre eux
il existe d nombre premier, diviseur  du pgcd de a b et a + b

d est un nombre premier qui divise a b donc 2 cas :
d divise a (mais pas b car a et b sont premiers entre eux)
d divise b (mais pas a car a et b sont premiers entre eux)

d divise a + b et d divise a donc d divise a + b - a soit d divise b ce qui est exclu
idem si d divise b et a + b alors il divise a + b - b donc d divise a ce qui est exclu

l'hypothèse a b et a + b ne sont pas premiers entre eux est fausse, a b et a + b sont premiers entre eux