f est une fonction c'est a dire une relation qui a un nombre associe un autre nombre. f(x) est le nombre associé a x par la fonction.
Attention de ne pas confondre les deux.
-3 est un nombre, l'opposé de 3
2-3 est une opération.
mais comme tu le fais si bien remarquer, 2-3 = 2+(-3)
du coup on ne se casse pas la tête, quand on fait des opérations avec des nombres négatifs, on se ramène a une soustraction.
C'est plus simple que de tout avoir à écrire comme des additions.

Merci infiniment !

bonsoir max48,

j'aime bien tes reflexions !

Pour moi, 2-3  est (+2)+(-3) mais comme nous sommes tous très paresseux, nous avons sauté sur l'occasion d'en écrire le moins possible, et on n'écrit plus les + inutiles (réputés inutiles si le fait de les enlever ne change pas le résultat).

Autre chose : (a+3)-(4+b)  on a appris que pour enlever les (), si elles sont précédées d'un signe -, ils faut "changer" tous les signes a l'intérieur de la parenthèse pour obtenir a+3-4-b
Cela prend son sens pour moi si on écrit (a+3)-1(4+b)  ou meme (a+3)+(-1)(4+b)
qu'en dis tu ?

Merci de ta réponse !

Mais pourquoi tu mets ce 1 ?
C'est juste pour l'exemple ?

Pour te répondre, là pour moi, ce moins entre les deux membres est un signe d'opération. Ce que je fais, c'est que, en enlevant les parenthèses, ce moins appartient au chiffre d'après, et pour le reste, on inverse les signes.

Sinon j'aurai deux questions : Que veut dire pour vous " Exprimer en fonction de" ?
"Exprimer f(x) en fonction de x", là en ce moment je fais les suites, "Exprimer n+1 en fonction de n".
Je vous dis pas le mélange dans ma tête, entre fonction en chimie pour les alcools, alcanes, alcènes, composés carboxyliques... la fonction d'une molécule en SVT, et ça...
J'ai compris ce qu'il faut faire, mais plutôt que de singer les profs et exos corrigés, j'aimerai comprendre ce que ça veut dire pour vous.

Et plus généralement : que veut-dire "u_n est une fonction de n" ?
Ou : "Une suite est une application de N dans R" ? (Oui, ça veut dire que l'image d'un nombre dans N sera un nombre dans R, mais c'est ce "application de" qui me gène, ça aurait le même sens que fonction semble-t-il.)

J'ai compris ces 3 choses en gros, on va dire, c'est à dire que quand je lis  ça je sais ce que je dois faire, mais si vous m'aviez mis face à ça en troisième, j'aurais été incapable de la faire. (Ce qu'il a à faire est très simple, pourtant la manière de le dire..., et encore une fois, c'est les dyslexiques de ma classe, et ceux qui mélangent tout en langue qui comprennent ça, finalement, ils ne se posent pas de questions eux peut-être^^.°

exprimer f(x) en fonction de x revient à trouver une expression ou x apparait.
par exemple si g(x)=3x
et f(x)=2g(x)²-g(x)
f est ici exprimée en fonction de g(x) mais on peut écrire f(x)=18x²-3x
f est alors exprimée en fonction de x.
Idem pour les suites, généralement, on à une relation de récurrence et il faut trouver la suite en fonction de n
par exemple si  U_n+1=U_n+2 et U₀=5 (exprimée en fonction de U_n)
on trouve U_n=5+2n   (suite arithmétique)
qui est alors exprimée en fonction de n

U_n est bien fonction de n, avec pour ensemble de définition
c'est à dire que cette fonction n'attribue un nombre que pour des entiers naturels.
mais l'image peut prendre n'importe quelle valeur.
les fonctions que tu étudie habituellement sont généralement définies sur

une application est synonyme de fonction
de dans signifie que l'ensemble de départ est
(donc n )
et que l'ensemble d'arrivée est
(donc U_n

Ah d'accord !
Une seule chose me laisse perplexe, comment tu trouve ce u_n=5+2n ? (Je n'ai pas encore fait les suites arithmétiques et géométriques en cours. J'ai juste essayé de m'avancer un peu en découvrant la raison et que pour la calculer on fait u_n+1-u_n)

Merci beaucoup, tu as le don de rendre les choses très claires, même les plus petits détails !

regarde
U₁=U₀+2
U₂=U₁+2=U₀+22
...
U_n=U_n-1+2=U₀+2(n-1)+2=U₀+2n

tu verras bientôt ça dans ton cours

Merci.

Bonjour.
Deux nouvelles choses :
1) Est-ce qu'une droite est considérée comme une courbe ?
Car on dit : "La courbe d'une fonction affine est une droite"

2)Et ensuite, ma prof de français qui se la pète un peu nous a dit qu'en maths chaque mot a un seul sens.
Mais la tangente ?
Alors, il y a un lien entre tangente (à une  courbe) et tangente en trigo ? (Fonction tangente etc...)

oui une droite est une courbe, même si elle n'est pas arrondie.

la tangente de l'angle aOb est donnée par la mesure de ab
la droite (ab) est tangente au cercle.
voilà c'est tout bête...

Bonjour

il reste des jeunes gens épris de rigueur ! alléluia !


si on veut être parfaitement rigoureux, application et fonction, ce n'est pas tout à fait la même chose :

on commence par définir une relation entre deux ensembles A et B : par exemple A = ensemble des profs de ton lycée, B = ensemble des matières enseignées dans ton lycée

et la relation "enseigne" : exemple M. Tartempion prof de physique-Chimie est en relation avec "Physique", avec "Chime", mais pas avec "Géographie"

ensuite on définit le graphe de la relation : c'est une partie de l'ensemble des couples (a,b) où a est dans A et b dans B, constituée des seuls couples (a,b) pour lesquels a est en relation avec b

tu connais déjà des graphes : si , et si la relation est "est l'inverse de ", le graphe est constitué des couples (x,y) tels que y = 1/x : on a l'habitude de représenter les couples (x,y) par des points du plan, de coordonnées (x,y), et tu sais que ce graphe s'appelle une hyperbole.

parmi les relations, on en distingue des particulières : les fonctions. Ce sont les relations pour lesquelles un élément de l'ensemble de départ n'est jamais en relation avec plusieurs éléments de l'ensemble d'arrivée. si on pense à , et au graphe, ça signifie qu'une verticale d'équation ne coupe jamais le graphe en plus d'un point.
du coup un x donné ne sera en relation qu'avec 0 ou 1 y, s'il y en a un on dit que x est dans l'ensemble de définition de la fonction, et on appelle le y associé "image de x" et on le note f(x) (on manque souvent d'imagination, en maths, alors les relations, on les appelle souvent R, mais les fonctions, ce sera plutôt f ...)

et parmi les fonctions, on distingue celles pour lesquelles chaque x de l'ensemble de départ est associé à exactement un y de l'ensemble d'arrivée, celles pour lesquelles l'ensemble de définition coïncide avec l'ensemble de départ, si tu préfères : celles là sont appelées "applications"

par exemple, on peut parler de la fonction "inverse" de vers , et de l'application "inverse" de vers

Merci beaucoup.
Quelque chose me turlupine concernant les suites.
Les suites sont définies sur N.
Le premier terme s'appelle donc u₀, le second u₁, etc...
Mais des fois nous avons des suites définies sur N*.
Donc le premier terme est u_1.
Il y a donc un lien entre les entiers naturels et la manière de nommer les termes.
Pourtant si notre n représente le nombre d'années depuis 2000, notre premier terme est u₀, u₁ ou u₂₀₀₀ ?
Vous comprenez ce que je veux dire ?
C'est pour pas ce tromper dans les calculs quand on doit faire quelque chose -u₀.
Et quand c'est défini sur N*, pourquoi on pourrait pas appeler le premier terme u₀?

dire "la suite est définie sur ", c'est exactement dire que le en indice prend ses valeurs dans ! du coup n'est pas défini.

rien n'interdit de poser = capital en , = capital en , par exemple

tout comme on peut préférer poser = capital en et = capital en l'an

question de convention au moment de commencer à transcrire un problème à l'aide de suites.

Bonsoir. Il y a quelque chose que je ne comprend pas sur les suites :
Les suites définies par formule explicite : on met n en abscisse et u_n en ordonnée. Les termes de la suite se lisent donc en ordonnée.

Mais par récurrence, c'est u_n en abscisse et u_n+1 en ordonnée.
Durant un exercice, après avoir construit les points, j'ai donxc lu les termes de la suite en ordonnée. Un copain de ma classe m'a dit ''Non, il faut les lire en abscisse !'' Je lui ai dit que je ne trouvais pas ça très logique car ça revenait à lire les un donc en gros les xet pas les f(x).
Et pourtant c'était ça... Donc pourquoi ?
Et les termes d'une suite on les lit en abscisse, en ordonnée, ou ce sont les points peut-être ? Et ça change pour les suite explicites ou par récurrence le mode de lecture ?

Bonjour,
parles de tu de ce genre de graphique?

Oui c'est ça.

les suites définies par récurrence sont de la forme Un+1 = f(Un).
donc Un+1 est l'image de Un par la fonction f.
Donc effectivement, on peut lire le résultat en ordonnée.
Mais ensuite, on projette la valeur trouvée sur le graphe de la fonction x.
Or le principe de la fonction identité est que son image est la même que l'antécédent.
tu peux alors lire Un+1 en abscisse et calculer Un+2.
Par exemple, sur le graphique, la suite est Un+1 = (2Un+3) et U₀ = 0
U₁ = (2(0)+3) = (3).
Comme tu l'avait fait remarquer tu vas effectivement lire U₁ = 3 en ordonée.
Ensuite, on projette (trait rouge) U₁ sur le graphe de la fonction x.
On lit alors U₁ en abscisse, là où est marqué U₁sur la figure.
Mais maintenant que l'on à U₁ en abscisse, on va pouvoir calculer U₂ par le même procédé...

En conclusion, toutes les valeurs de la suite peuvent se lire soit en ordonnée, soit en abscisse.
Mais pour des raisons pratiques, on les note le plus souvent en abscisse

Merci beaucoup. Ce point du cours s'éclaire maintenant.

Bonsoir. J'essaye de résoudre une inéquation mais je n'y arrive pas, à la dernière étape, que voici :
Comment on passe de 0<1/x<b à x>1b ?
Merci et bonne nuit.

sur ]0,+[, la fonction 1/x est décroissante, d'où l'inégalité

Oui mais quel calcul on fait pour passer de 0<1/x<b à x>1/b ? Le sens de l'inégalité change donc on a multiplié par un nombre négatif mais je ne vois pas lequel.

On à multiplié par rien du tout, on utilise la propriété de la décroissance de la fonction.

Définition d'une fonction décroissante:
Soient x,y   x<y
f est décroissante sur I      f(x)>f(y)


ainsi, la fonction f(x) = -x est décroissante, donc on a pour x<y, f(x)>f(y) donc -x>-y
C'est ce qui se passe quand tu dis "on change le signe parce que l'on multiplie par -1

Pour la fonction 1/x, c'est pareil.
Attention aux intervalles, 1/x est décroissante sur ]-,0[ et sur]0,+[ mais surement pas sur , d'abord parce qu'elle n'est pas définie en 0, et puis ausi parce que -5<2  et -1/5<1/2

pardon x,yI

Bonjour
la définition d'une fonction décroissante est un peu "olé-olé" ....

autre manière de voir les choses (ou de démontrer que la fonction inverse est décroissante sur ]0, +oo[) :

si 0 < x < y, on divise tout par y, qui est positif : 0 < x/y < 1, puis on divise tout par x, qui est positif aussi : 0 < 1/y < 1/x

si tu veux, dans ton exemple pour passer de 1/x < b à x > 1/b, on a tout multiplié par x/b, et dit que 1/b < x ou x > 1/b, c'est blanc bonnet et bonnet blanc ....

Une précision :
depuis qu'on a étudié les nombres relatifs en 5ème, dans toutes les classes supérieurs, on fait du calcul algébrique et non plus arithmétique ?
Ce que je veux dire, c'est que pour les réels, on utilise bien les règles des relatifs pour additionner, soustraire etc... Sauf qu'on a des expressions algébrique simplifiées. C'est la seule chose qui change non ?
Et pour les suites où l'on a des entiers naturels et la trigo où l'on a des relatifs et pas des réels les règles changent ?
Merci.

Et quelle différence entre relatifs et réels ?
Et pourquoi dit on que -1,5 par exemple est décimal ? Il est relatif puisqu'il a un signe moins !

on parle d'arithmétique quand on travaille avec des nombres entiers, la plupart du temps.
calcul algébrique, c'est pour les calculs avec des expressions, plutôt

les règles de calculs sont les mêmes, oui, dans tous les ensembles de nombres que tu connais

un relatif, c'est avant tout un entier, positif ou négatif, mais entier
un décimal, c'est un réel particulier, qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient d'un nombre entier par une puissance de 10

Mais ce que je veux dire, c'est par exemple :
(+3)-(+5)=(+3)+(-5)=3-5
Ca c'est pour les relatifs.
On attribue le moins au 5. (c'est ça?)
Plus généralement pour les réels, quand on fait du calcul (identités remarquables, etc...) en Seconde par exemple, on utilise ces règles de signes etc, non ?

bien sur, oui

en fait il n'y a qu'une opération : l'addition
quand on écrit a - b, c'est un raccourci pour "a + l'opposé de b", et ça marche pour les entiers, les décimaux, les rationnels, les réels, et même plus tard tu verras pour toutes sortes d'objets pour lesquels on a défini une addition

Ah, voilà, génial ! Merci beaucoup, c'est la précision que j'attendais, car tout était flou dans ma tête.
Maintenant, c'est très clair ! Merci à toi et bonne nuit !!!

Bonjour. J'aurai une question de vocabulaire et une autre de méthode.

J'ai lu qu'une somme algébrique serait une "vraie somme" avec parenthèses, etc... et qu'une somme simplifiée s'appellerait en fait une expression algébrique. C'est vrai ?

Et puis, en lisant des cours sur Internet, et en regardant des vidéos, notamment celles de Philippe Mercier, qui sont d'ailleurs très bien faites,qu'il existe deux méthodes pour simplifier une somme algébrique.

La première, avec plein de définitions, de règles, celle qui est la plus enseignée.
Cette méthode nous dit que quand nous avons un nombre positif on peut supprimer les parenthèses autour de lui et son signe.

Donc si on a (+5)+(+2), cela nous fait 5 + 2
Donc le problème, c'est que les on n'a pas les mêmes règles concernant les signes pour les nombres positifs et négatifs.
En effet, le nombre négatif s'écrit juste avec le signe -, il n'y a pas le signe de l'addition devant,  or pour les nombres positifs si... donc c'est un bordel pas possible pour les élèves.
Aussi, certains professeurs enseignent de transformer l'addition d'un terme négatif en soustraction d'un terme positif, donc on a des moins et plus dans la même expression...

Seconde méthode, plus simple et plus rapide et surtout plus utile pour les classes supérieures à la 5ème et 4ème où les sommes algébriques sont un outil et non pas le but du programme en lui-même. Vaut donc mieux ne pas se demander : "même signe ou pas ?", "Je prend la distance à zéro ou pas ?" (Petite parenthèse : pourquoi les professeurs n'enseignent pas le terme valeur absolue dès le collège ? Ca évite d'entendre les lycéens demander à longueur de journée "C'est quoi la valeur absolue ?" lorsque l'on étudie cette fonction en 1ère...) Tout faire de tête est plus simple.

Il suffit, d'abord de transformer toutes les soustractions en additions, on se retrouve qu'avec des additions donc, de termes négatifs ou positifs. Il suffit ensuite d'enlever toutes les parenthèses et les signes d'additions, pour ensuite ne recopier que les nombres avec leurs signes. Alors, c'et sur que c'est pas commode à lire, de se dire c'est une suite de chiffres sans liens, mais ils suffit de se dire qu'entre chaque nombre il y a un signe plus qui n'est pas écrit. Et de toute façon le plus du 8 par exemple si dessous, si on suit la règle de la méthode 1 on ne doit pas  l'écrire,car c'est positif, mais ici, on le fait pour qu'il y ait un "lien" logique en quelques sortes entre chaque nombre, il prend la place du plus d'addition.
Ainsi, (+5)+(+8)+(-12)
       = 5 +8 -12
La règle que l'on retient de l'autre méthode n'est ici que : le premier terme, s'il est positif peut s'écrire sans signe et parenthèses. Car si dans l'autre méthode on applique cette règle à tous les nombres positifs, ça deviens une embrouille pas possible.

Et ce que mathématiquement, tout cela tient ?

Merci et bonne soirée.

Les signes soulignés sont ceux que l'on enlève, bien entendu.