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Poba

Posté par
flight
25-06-20 à 15:39

Bonjour

Soient deux variables aléatoires X et Y suivant toutes deux une loi uniforme sur {1,2,3,..n}.Quelle est la probabilité que X et Y soient premiers entre eux ?

Posté par
jandri Correcteur
re : Poba 25-06-20 à 17:24

Bonjour,

il n'y a pas de formule simple, voir la suite A18805 de l'OEIS

Posté par
flight
re : Poba 25-06-20 à 17:49

J en ai trouvé une avec des parties entières

Posté par
jandri Correcteur
re : Poba 27-06-20 à 10:34

Bonjour,

il y a une formule de récurrence simple pour la suite (u_n), nombre de couples (x,y)\in[[1,n]]^2 tels que x et y sont premiers entre eux mais cette formule fait intervenir la fonction \varphi d'Euler :

 Cliquez pour afficher


On en déduit une expression de u_n avec une somme qui fait intervenir les \varphi(k) pour 1\leq k\leq n :
 Cliquez pour afficher


Comme il n'existe pas de formule simplifiée pour la somme de 1 à n des \varphi(k) il n'y en a pas non plus pour la question posée dans cet exercice. Je ne pense pas non plus qu'il y ait une formule avec des parties entières.

Posté par
flight
re : Poba 28-06-20 à 14:43

salut jandri j'ai pu trouver cette formule  je 'lai testé pour quelques cas

P(X et Y premier entre eux) = 1 -  E(n/k) / n²  pour k compris entre 2 et n

Posté par
jandri Correcteur
re : Poba 28-06-20 à 15:33

Bonjour flight,

ta formule est fausse, elle donne le bon résultat seulement pour 2\leq n\leq4.

Par exemple, pour n=6 elle donne \dfrac{28}{36} alors que le bon résultat est \dfrac{23}{36}.

Posté par
flight
re : Poba 28-06-20 à 18:35

exacte jandri , j'ai pas poussé les verifications de ma formule .. me suis contenté des 3 premiers termes en me disant que la "géneralité" de la formule serait forcement bonne  ...
bon je me re penche dessus

Posté par
verdurin
re : Poba 28-06-20 à 20:01

Bonsoir,
ça me rappelle un vieux souvenir : compléter la suite 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.
Les termes suivants sont 7 ; 8 ; 9 ; 11 . . .
C'est la suite des entiers ayant au plus un diviseur premier.

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