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Un nombre entier est un cas trés particulier:

*sur 3 points ,si le triangle formé est isocèle ou droit
il y a des chances qu'un autre segment soit entier
*avec un quatrième point les chances diminuent car les
calculs trigonométriques sont en général irrationnels.
Pour le moment ,je donne cette réponse "triviale".

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Soit donc X un ensemble de complexes tels que les distances entre deux de ces points quelconques soient un entier. Supposons qu'il existe la dedans 3 points non alignés, disons a,b et c, alors pour tout x dans X, on a par l'inégalité triangulaire ||x-a|-|x-b|| majoré par |a-b| et de meme ||x-c|-|x-b|| majoré par |b-c|.
On voit donc que les points de X sont sur la reunion fini d'intersection de deux hyperboles, plus precisement si A_i={|x-a|-|x-b|=i} poour i=0... |a-b| et de meme B_j pour i=0... |b-c|, alors si on pose C_i=B_i inter A_i, X doit etre contenu dans la reunion des C_i de i=1 a min |a-b|, |b-c|. Donc au moins l'un des C_i doit etre infini.
Mais ceci c'est impossible, par une infime partie du théorème de Bezout, qui est vraiment simple, et que 'lon peut prouver par exemple avec les polynomes de lagrange, ou par un calcul direct prouvant qu'une intersection d'hyperbole ne peux avoir plus de 4 points, sauf si bien sur c'est la meme hyperbole, mais ca bien sur c'est exclu.