Point de vue géométrie affine :
Par récurrence sur
je montre que, sur une sphère de rayon 1 dans un espace affine euclidien de dimension
, il est possible de placer
points tels que la distance entre deux points distincts de la famille soit
Pour
aucune difficulté : il s'agit de placer trois points sur un cercle de rayon unité du plan euclidien tels qu'on ait un triangle équilatéral de côté égal à
.
Soit
la sphère de centre
, rayon 1, dans l'espace affine euclidien
de dimension
.
On prend
(suggéré par le calcul des produits scalaires en condition nécessaire).
L'hyperplan affine
passant par
orthogonal à
coupe
selon un ensemble
qui est la sphère de
, de centre
, rayon
.
Pour
on a
^2+r^2=2+\dfrac2n=d_n^2)
Si
est la sphère unité de
de centre
on sait, par hypothèse de récurrence, placer les points
tels que
.
L'homothétie de centre
et de rapport
transforme
en
et chaque point
en
.
Alors, pour
, on a
^2=r^2(B_iB_j)^2=\dfrac{n^2-1}{n^2}d_{n-1}^2=\dfrac{(n^2-1}{n^2}2\dfrac{n}{n-1}=d_n^2)
.
Finalement la famille
est une solution.
..............................
Point de vue vectoriel (honnêtement je n'aurais pas trouvé sans faire ce qui précède)
Par récurrence sur
je montre :
Dans un espace vectoriel euclidien de dimension
il existe une famille
_{1\leqslant i\leqslant n+1})
de vecteurs normés telle que
\implies \lVert x_i-x_j\rVert=d_n=\sqrt{\dfrac{2(n+1)}n})
C'est vrai pour
: il suffit de prendre deux vecteurs normés opposés
)
pour avoir
Soit, en dimension
, un vecteur normé
.
Dans l'orthogonal de
il existe, hypothèse de récurrence, une famille
_{1\leqslant i\leqslant n} )
de vecteurs normés telle que
Soit
et, pour
.
On a bien :
Et enfin,
e\rVert^2 = r^2+\Bigl(1+\dfrac1n\Bigr)^2=2+\dfrac2n=d_n^2)
Question espace prehilbertien fait établir les conditions nécessaires 
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