Bonjour,
Dans quelle mesure les cercles inscrit et circonscrit étant fixes, peut-on faire obtenir plus de deux triangles ABC (lui et son symétrique par rapport à (OI)) ? Si c'est le cas les points cherchés sont évidemment fixes.

C'est ce qui est intéressant (entre autres). Les deux cercles choisis (et bien choisis), il y a une infinité de triangles dont ces cercles sont les cercles circonscrit et inscrit.

Dans ce cas on peut même affirmer que tout point de l'un des cercles permet de construire un triangle unique répondant à la question.

Tout A du cercle O, il existe un triangle tel que les deux cercles sont respectivement circonscrit et inscrit.
Il faut donc montrer que tous les orthocentres (de même centres de gravité, de même, centre cercles des 9 points) sont fixes quand A parcourt le cercle O

Voici un dessin avec quelques triangles ABC qui conviennent.

Avec ces positions et dimensions des 2 cercles, il y a une infinité de triangles ABC possibles.



Pour avancer, il faudrait trouver comment positionner les cercles et leurs dimensions pour que cela puisse marcher ...

Il semble que tous les triangles ABC sont superposables, c'est peut-être une piste.

Non! heureusement qu'ils ne ne sont pas superposables; sinon on passerait de l'un à l'autre par une transformation qui enverrait l'orthocentre de l'un en l'orthocentre de l'autre. Donc l'orthocentre ne serait pas fixe (sauf si c'éait le point fixe de la transformation; mais dans ce cas, ce serait le centre de gravité qui ne serait pas fixe!)

Bonjour

On se trouve ici dans une configuration qui relève du théorème de Poncelet:

Etant données deux coniques, s'il existe un triangle dont les sommets sont sur l'une et dont les côtés sont tangents à l'autre, alors il en existe une infinité.

Voir le problème de Maths II de Centrale 2006 dans la filière TSI. Le but de ce problème était la démonstration du théorème de Poncelet.

Oui! d'accord. Mais si le Théorème de Poncelet assure qu'il existe bien une infinité de triangles ayant les mêmes cercles inscrit et circonscrit, il ne montre pas que l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle des 9 points de ces triangles sont fixes.

jver:

Bien sûr!