Niveau algorithmique

Points rationnels d'une fonction

Posté par
alainpaul 21-05-13 à 12:01

Bonjour,

J'aimerais vous soumettre une question que
je me suis posée:
soit la fonction $f(x)=\sqrt{x^2+1}$
$x \in I,f \in I$ ,
$I$ ensemble de rationnels > 1

Comment puis-je définir l'ensemble des points rationnels de f ?

Amicalement,
Alain

Posté par re : Points rationnels d'une fonction 21-05-13 à 13:18

Bonjour,

x = p/q sous forme irréductible
f(x) = (p²/q² + 1) = (1/q)(p²+q²)
Les points rationnels (p,q) sont tels qu'il existe n entier tel que p²+q² = n²
Le problème est connu sous le nom de la recherche des "triplets pythagoriciens" (p,q,n) et a donné lieu à une abondante littérature, voir par exemple ici :

Posté par re : Points rationnels d'une fonction 21-05-13 à 14:19

Bon après-midi,

Merci pour ta réponse,je m'intéressais à une autre voie:
transformer x^2+1 en un carré.

Je propose le changement de variable:
$x=1/2(t-1/t)$

De la même manière nous devrions pouvoir calculer
les points rationnels de certaines fonctions
$\sqrt{x^2+mx+n}$
m et n entiers,

Alain