Bonjour,
J'arrive à en tracer 25.

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Bonjour,
Perso,j'ai évité car "dans l'espace"

salut

dpi : dans le plan ou dans l'espace cela change-t-il quelque chose ?

Il y a peut-être un lien avec les graphes et le degré d'un sommet.
La somme des degrés est égale à deux fois le nombre d'arêtes.
Si on démontre que les degrés des sommets sont inférieurs ou égaux à 5, on aura démontré que tracer 26 segments est impossible.

Bonjour à tous

Si on note ni le nombre de sommets de degré i alors la somme des ni est égale à 10 et la somme des ini à 52 . En écrivant les deux équations s'il n'y a pas de sommet d'ordre supérieur 5 , on arrive à n2+2n3+3n4+4n5=42+n0 . C'est clairement impossible , il y a donc un sommet d'ordre supérieur à 5 .

Imod

Plus simple :
Si les 10 sommets sont de degré inférieurs ou égaux à 5, alors la somme de ces degrés est inférieure à 50.
Et le nombre d'arêtes est inférieur à 25.

Je pense avoir démontré qu'il y a un sommet d'ordre au moins 7 s'il y a 26 segments :

L'existence d'un sommet d'ordre au moins 6 est déjà démontrée.
On suppose qu'il est d'ordre 6.
Soit A₀ ce sommet, et A_i, avec i de 1 à 6, les 6 sommets qui lui sont reliés par un segment.
Restent trois sommets A₇, A₈, A₉.
A₁ ne peut être relié qu'à ces trois là en plus de A₀.
Donc son degré est au maximum 4.
Idem pour les autres A_i, avec i de 2 à 6,
La somme des degrés des 7 points de A₀ à A₆ est donc inférieure ou égale à 6+64 =30.
Restent 22 degrés à partager entre les 3 points A₇, A₈, A₉.
Donc un des trois est de degré supérieur à 7.

Bonsoir,

Intéressant Sylvieg car en réitérant ton raisonnement en partant de deg(A0)=7 (les cas 8 et 9 sont vite éliminés), alors j'obtiens une absurdité ce qui prouve qu'il y a forcément un triangle (d'ailleurs cela m'a indiqué que j'aurais dû préciser que les segments sont distincts).

Voici mon approche (différente de celle de Sylvieg) :

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En numérotant les points A0, ... , A9.
On suppose que [A8 A9] est un segment. A8 et A9 sont connectés à 8 points maximum (sinon il y a un triangle).
Si on retire A8 et A9, et tous les segments qui les concernent, on se retrouve avec 8 points et >17 segments.

Quitte à renuméroter, on réitère le procédé avec le segment [A6 A7] qui ne peuvent se connecter qu'à 6 points. Donc on retire ces points et tous les segments qui les concernent. On aboutit à 6 points et >10 segments.

On recommence avec [A4 A5], et on aboutit à 4 points et >5 segments. Et on voit qu'il est impossible de ne pas avoir de triangle dans une telle configuration.

Bonjour thetapinch27,
Oui, j'avais vu que ça coinçait avec un degré supérieur ou égal à 7.
Ta démonstration est plus simple que la mienne.
Pour vérifier que j'ai bien compris : les inégalités y sont larges ?

Je vais tenter de comprendre comment justifier la généralisation.
Et je me pose cette question : Est-il toujours possible d'obtenir n² segments ?

Bonjour
Pour 2n+1 (soit un nombre impair de points) on peut obtenir n²+1 segments. Démo à voir.