Polynômes

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Polynômes  
Posté par 
bouchaib  27-02-26 à 03:57
Bonjour,

Soit P(x) le polynôme défini par :

 1. Vérifier que : p(x) =(x2+1)(x+1)2.

2. Soit n un entier nature non nul, Montrer que

 n^4+2n^3+2n^2+1 n'est pas un carré parfait .

C'est-à-dire : On ne peut pas l'écrire sous la forme A2 avec A de N.

Remarque : On admet que  a et b sont deux entiers naturels non nuls , si a2 divise b2 alors a divise b.

Réponse  : 1. Aucun problème. 

2. Pour cette question je n'ai pas su utiliser la remarque. 

Sinon, on peut montrer par encadrement que P(x) est entre 2 carrés parfaits et donc P(x) n' est pas un carré parfait.

Je voudrais me dire comment je peux utiliser la remarque pour répondre à cette question.

Merci beaucoup. 
 Posté par 
Sylvieg re : Polynômes    27-02-26 à 07:58
Bonjour,

Peux-tu vérifier l'énoncé ?

P(-1) n'est pas nul : 1 - 2 + 2 + 1
 Posté par 
bouchaibre : Polynômes    27-02-26 à 15:13
Pardon j'ai oublié un terme :

P(x)=x4+2x3+2x2+2x+1.

Merci.
 Posté par 
Sylvieg re : Polynômes    27-02-26 à 15:16
Et pour n^4+2n^3+2n^2+1 ?
 Posté par 
bouchaibre : Polynômes    27-02-26 à 15:32
Donc aussi je devais ajouter +2n.

Merci.
 Posté par 
carpediemre : Polynômes    27-02-26 à 16:01
salut

je ne vois pas l'intérêt de la remarque puisque P(n) est un carré parfait  est un carré parfait

et comme tu le dis  est strictement coincé entre deux carrés parfaits (sauf pour n = 0 bien sûr)
 Posté par 
bouchaibre : Polynômes    28-02-26 à 02:29
Merci et c'est tout simple.

Donc  x2+1  est coincé entre deux carrés parfaits consécutifs, donc ne peut être un carré parfait.

Conclusion P(x) n'est pas un carré parfait.
 Posté par 
Sylvieg re : Polynômes    28-02-26 à 06:01
Ce serait plus clair avec des inégalités strictes, et sans mélanger x et n.
  Posté par 
bouchaibre : Polynômes    28-02-26 à 06:13
Bonjour,

Oui nous sommes dans N*.

 Merci beaucoup.