Niveau Reprise d'études-Ter

Polynômes : reste de la division par un autre polynôme

Posté par
pppa 21-12-23 à 08:33

Bonjour,

je dois déterminer comment trouver le reste de la division d'un polynôme par un autre à partir des données suivantes :

- sachant que : $(x^{3}-1) = (x-1). (x^{2} +x+ 1)$
- soit un polynôme $P$ de l'indéterminée $x$ , de degré  supérieur ou égal à 3, connaissant le reste $R_1(x)$ de la division de $P(x)$ par $(x-1)$ et le reste $R(x)$ de la division de $P(x)$ par $(x^{3}-1)$ , comment déterminer le reste   $R_2(x)$ de la division de $P(x)$ par $(x^{2} +x+ 1)$ ?

Mes recherches :
- le reste de la division de $P(x)$ par $(x-1)$ est une constante,
- le reste de la division de $P(x)$ par $(x^{3}-1)$ est de degré 2, ou 1 ou une constante,

donc le reste de la division de $P(x)$ par $(x^{2} +x+ 1)$ est de degré 1 ou une constante,

Je sais que le produit   $R_1(x)$ * $R_2(x)$ n'est pas égal à   $R(x)$ ,
j'ai fait plusieurs tests avec   $P_(x)$ de degré 3 ou 4, je ne vois pas de lois générales, et je ne trouve rien de précis sur internet ou dans les documents dont je dispose.

Merci par avance pour votre aide.

Posté par re : Polynômes : reste de la division par un autre polynôme 21-12-23 à 09:24

salut

$P(x) = (x - 1) Q_1(x) + R_1(x) = (x - 1) Q_1(x) + P(1) \\ P(x) = (x^3 - 1)Q_2(x) + R(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1) Q_2(x) + R(x)$

et tu sais que R₂ est un polynome de degré 2 ...

mais bof : la première division ne sert à rien

il suffit d'effectuer la division euclidienne de R par $x^2 + x + 1$

$R(x) = ax^2 + bx + c = a(x^2 + x + 1) + (b - a)x + c - a$

Posté par re : Polynômes : reste de la division par un autre polynôme 21-12-23 à 21:27

>> Carpediem,

excuse-moi, j'avais oublié jusqu'à ce soir de te remercier pour ta réponse.

Il me semble que tu aurais dû écrire que $R_2$ est un polynôme de degré 1, puisque le diviseur $x^2 + x + 1$ est de degré 2, ce que vérifient des calculs que j'ai fait par la suite sur des exemples concrets.

Je te souhaite de bonnes fêtes de fin d'année

Posté par re : Polynômes : reste de la division par un autre polynôme 21-12-23 à 21:49

en fait j'ai modifié tout sauf ce R_2 (troisième ligne)

et R_2 tu l'as en dernière ligne

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