Bonjour à tous,
Petit coup de gueule, quand vous cherchez "primitive de 1/x" sur internet ou dans les livres vous trouverez plein de gens pour vous dire soit ln(x) soit ln(|x|) (même sur ce forum).
Comment diable un honnête étudiant ou auteur de mathématiques peut-il comprendre quand il est confronté à tant de fainéantise de la part de ceux qui sont dans le rôle de l'enseignant ?
Revenons sur l'assertion hérétique :
Citation :
la primitive de 1/x est ln(|x|)+cste
1) Une bonne fois pour toutes : 1/x est un nombre , pas une fonction, en fait c'est même pire, si on n'a pas dit ce qu'était x, 1/x ce n'est rien ! Vous me direz : "oui mais là tu chipotes pour rien", sauf que nous allons voir que dans ce cas précis faire ce genre d'abus a des conséquences terribles.
2) LA primitive => à proscrire, à moins d'être dans un contexte assez étrange et peu usuel une fonction admet généralement une infinité de primitives.
3) cste => dans toutes les recherches et études que j'ai faites en mathématiques jusqu'à aujourd'hui je n'ai jamais trouvé de définition précise de cette suite de quatre lettres.
On voit parfois :
Citation :
1/x = ln|x| + cste
4) Il y a des règles strictes de l'utilisation du symbole intégrale, il convient nottament d'y associer des bornes ou une partie mesurable de l'ensemble de définition ainsi qu'un dx dans le cas présent qui permet de préciser la variable ou dans d'autres cas la mesure utilisée.
Faisons le proprement au moins une fois dans notre vie (même si il y aura toujours des plus puristes pour dire que c'est nimporte quoi, ce sera déjà bien mieux que ce qu'on peut trouver la plupart du temps) :
Rappels :
- Soit f une fonction d'un ouvert A de R sur R. F : A -> R est une primitive de f si F est dérivable sur A et F'=f.
- Soit I un intervalle de R et f : I -> R continue. f admet au moins une primitive F et l'ensemble des primitives de f est F + R = {F + c, c

R}. On a même le résultat suivant : pour tout a

I et tout x

I,
dx)
est la valeur en x de la primitive de f qui s'annule en a.
Maintenant notons f : R* -> R; x -> 1/x. On sait que f est continue.
Prenons maintenant les restrictions de f à R
+* et R
-* que nous noterons respectivement g et h.
R
+* et R
-* sont des intervalles de R, donc g et h admettent des primitives. La primitive de g qui s'annule en 1 est ln et celle de h qui s'annule en -1 est ln ° neg, avec neg : R -> R; t -> -t. L'ensemble des primitives de g (resp. h) est donc ln + R (resp. ln ° neg + R).
Soit à présent une primitive F : R* -> R de f :
- Pour tout x>0, F'(x) = f(x) = g(x).
Donc F|R
+* est une primitive de g.
Donc il existe un réel c
+ tel que pour tout x>0, F(x) = ln(x) + c
+.
- Pour tout x<0, F'(x) = f(x) = h(x).
Donc F|R
-* est une primitive de h.
Donc il existe un réel c
- tel que pour tout x<0, F(x) = ln(-x) + c
-.
Notons pour tous c
+ et c
- réels,
F(c
+,c
-) : R* -> R; x -> ln(x) + c
+ si x>0, ln(-x) + c
- sinon.
Pour tous c
+ et c
- réels, F(c
+,c
-) est dérivable sur R* et F(c
+,c
-)' = f.
Conclusion : l'ensemble des primitives de f est {F(c
+,c
-), (c
+,c
-)

R²}

ln ° abs + R (abs est l'application valeur absolue). ln ° abs (qui est définie sur R
privé de 0) est la primitive particulière de f s'annulant en 1 et en -1.
On voit que deux "constantes" interviennent, c'est dû à la non-connexité de R*.
Ce que je veux transmettre comme message à travers cet exemple précis, c'est qu'on est jamais trop rigoureux. Quand on fait un raisonnement mathématique il convient d'être clair et précis, surtout quand on est dans le rôle del'enseignant, ce en sachant (et ce n'est pas facile) se mettre au niveau de l'élève.
Bien sûr il est commode d'utiliser des abréviations et autres facilités de rédaction et raccourcis dans le raisonnement, je le fais moi-même, ce n'est pas interdit.
Cependant il faut bien savoir qu'on s'expose alors à un risque accru d'erreurs ainsi qu'à un risque d'incompréhension de la part de son auditoire/lectorat.
En outre cela exige d'être parfaitement conscient de ce qui se cache derrière les abus et artifices utilisés... et ne pas confondre boîte noire (résultat qu'on utilise en toute légitimité sans forcément le comprendre en détail mais en sachant correctement l'appliquer) et entourloupe.
Bien cordialement,
Un matheux en colère.
PS : Un petit sourire quand même pour donner un aspect amical au message
