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pour une demonstration niveau college
bonjour cest pour demontrer que si x puissance 2 est paire alors x est paire ( x est un entier naturel)et
Bonjour segment,
on veut montrer x² pair 
x pair.
On peut le montrer par la contraposée :
x non pair x² non pair.
Ou encore x impair x² impair.
Supposons x impair, alors x=2k+1 avec k
, on a donc x²=(2k+1)²=4k²+1+4k=2(2k²+2k)+1 alors x² impair...
merci totti1000
je me demande sil nya pas une demonstration sans la contraposee
en fait x paire alors x puissance 2 est paire cest claire pour eux mais lautre sens ?
(est ce que on peut pas utiliser le fait que x est un entier naturel donc x puissance 2est un carre parfait) ? merci
Avec la décomposition en facteurs premiers d'un entier.
On suppose x non-nul, cas trivial.
Si x2 est pair alors il existe un entier non-nul n tel que x2 = 2n.
x étant un entier, il se décompose en produit de facteurs premiers sous la forme :
x = p1
1
p22...pkk
où les pi sont des nombres premiers.
En élevant x au carré on obtient :
x² = (p11p22...pkk)²
= p121p222...pk2k
Comme 2 apparait dans le produit x2 = 2n, il existe un entier i tel que pi = 2 et ainsi x est pair.
Rédaction moyennement rigoureuse.
pour x entier x puissance 2 paire secrit sous la forme 4 fois n puissance 2 pour tout n dans N
x fois x egale a 2n fois 2n
x egale a 2n
x est paire
Salut,
En college tu peux aussi le faire en etudiant le dernier chiffre des entiers et le dernier chiffre de leur carré. C'est ce qu'on peut utiliser en 3e pour demontrer l'irrationnalité de racine de 2.
c'est une tres mauvaise idee que d'insister sur la contraposée au college car ce raisonnement " est strictement incomprehensible" par un collegien. Les etudiants de capes ou d'agreg ont encore des difficultés frequentes avec.
il vaut mieux rediger avec un raisonnement par l'absurde
pour plus d'idée sur le sujet il y a sur le site de l'irem de rennes 
nombreux documents dont une brochure justement sur la demonstration au college
Faut pas rigoler non plus, l'absurde et la contraposée c'est pareil...Je pense qu'un collegien, est capable de comprendre que si x pair alors x² pair et x impair implique x² impair alors x et x² ont meme parité...
salut rodrigo
je suis tout a fait daccord
le probleme cest lautre sens cest a dire x au carre paire implique x paire
Ben oui c'est bien ce que je dis si x impair x² impair, donc si x² est pair c'est que x ne pouvait qu'etre pair, car sinon x serait impair et donc x² aussi... Franchement les gamins du collège ne sont pas betes...
l'absurde et la contraposée c'est pareil.
Pas du tout d'accord
cela ne donne pas le meme texte et je parle d'experience sur les etudiants de capes ou d'agreg qui se perdent parfois avec la contraposée (démontrer deux fois la meme implication) jamais avec un raisonnement par l'absurde
j'ai egalement realisé des eperiences en 4eme avec des eleves et leur prof sur ce sujet
les recherches des irem sont tres utiles pour beneficier de l'experience des collegues et trouver des activités adaptées aux eleves
puis pour demontrer lirrationnalites de racine de 2 il faut utiliser(au college) la demonstration par labsurde
car sinon x serait impair et donc x² aussi...
c'est d'ailleurs un raisonnement par l'absurde
Pour la contraposée et l'absurde je suis d'accord que logiquement ca n'est aps tout a fait la meme chose, mais justement au niveau de la redaction la différence est subtile...
Entre supposons A et non B et arrivons a une contradiction et supposons non B arrivons a non A, tout commence dans la redaction par Supposons non B, en general on peut conclure de manière equivalente par non A ou par si l'on avait A contradiction...
Pour le cas qui nous interesse...
Supposons x² pair et x impair comme x est impair, x² l'est aussi, contradiction.
Et supposons x² pair, alors si x etait impair x² le serait aussi donc x est pair.
La difference est tenue...Vous allez me dire en fait c'est un raisonnement par l'absurde dans les deux cas...Je suis assez d'accord sauf que le deuxieme se presente plus comme une contraposée et est a mon sens plus a meme d'etre comprehensible par des eleves
la contraposée c'est
suposons x impair alors x² impair car ....
donc si x2 est pair alors x est pair
on ne suppose pas x² pair qd on raisonne par contraposée
donc pour le college cest quoi a votre avis la plus facile mon raisonnement ou utiliser par labsurde
pour x entier x puissance 2 paire secrit sous la forme 4 fois n puissance 2 pour tout n dans N
x fois x egale a 2n fois 2n
x egale a 2n
x est paire
en fait tu supposes n pair ey tu dis que n^2 est divisible par 4
cela est la reciproque de ce que l'on veut montrer
le plus simple c'est par l'absurde
si x^2 est pair montrons que x est pair. Si x était impair .....contradiction
salut minkus je ne comprend pas pourquoi on accepte pas(explique moi on apprend toujours)
pour x au carre paire et x entier naturel
0 cest 4*0au carre
4 cest 4*1au carre
16 cest4*2au carre
36 cest4*3au carre
64 cest4*4au carre
100cest4*5au carre
.
.
.
.
donc x au carre secrit sous la forme de 4*n au carre ;
pour xau carre 2;6;8;10;12...
on peut parler de x paire
je ne comprend pas pourquoi on accepte pas(explique moi on apprend toujours)
pour x au carre paire et x entier naturel
ce n'est bien sur pas faux de dire x^2 divisible par 4
mais c'est un peu ennuyeux de l'affirmer ss demonstration si on a juste donné la def de pair et surtout cela est completement inutile pour ce que l'on veut demontrer
si x^2 est pair alors x est pair
Ne peut faire ainsi : x2-x = x(x-1) produit de deux entiers consécutifs donc pair . Donc x2 et x ont même parité .
Elégant mais pas évident. La première implication est simple mais même au collège va nécessiter une petite explication, je te parle pas de la deuxième.
Mais élégant quand même.
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