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 Premiers deux a deux 
Posté par 
simon92  26-02-08 à 23:49
Salut,

Un petit défi d'arithmétique, ca vous dit?

Comment ca, non!??!



Enoncé: 
Citation :
Montrez qu'il existe un ensemble infini d'entiers naturels de la forme  premiers deux à deux ou n est un entiers naturel supérieur ou égal a 2.


Bonne chance 
Réponses blankés s'il vous plait

C'est pas méchant, mais comme j'ai l'impression qu'il y a plein de façon d'aboutir a la solution, je voudrais bien voir les votres 
 Posté par 
anonymere :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 01:42
Bonsoir 



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Il suffit de considérer les 22[sup]n[/sup]-3, facile de montrer (par des congruences) que  n, m, 22[sup]n[/sup]-3^22[sup]m[/sup]-3 = 1 
 Posté par 
simon92re :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 09:51
hatimy>> 
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pas bien compris ta réponse, apparement y'a du Bezout, mais je vois pas bien
 Posté par 
blangre :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 10:41
@hatimy:

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Moi non plus, je comprends pas bien...

Tu prétends que : Pour tous les naturels n et m (distincts, je suppose?),  et  sont premiers entre eux ? Ce n'est pourtant pas le cas: un exemple avec n=2 et m=14. 

 Posté par 
blangre :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 10:46
@hatimy:

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Ah, non, désolé, j'avais peut-être mal lu : il s'agît de  et  pour m et n distincts ?

 Posté par 
blangre :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 11:16
@hatimy:



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Quand même, ça ne colle pas non plus: par exemple    et   ...
 Posté par 
simon92re :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 20:33
non, mon énoncé est bon  Bonjour blang, pas d'idée ? 
 Posté par 
anonymere :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 22:18
Bonsoir >>



Blang, Simon92 >>



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je m'excuse ce fut une simple erreur de latex

Ce dont je parlais c'est An= 22^n-3 (2 puissance 2 puissance n), on peut montrer que ces nombres sont premiers entre eux pour des m et n différents. en effet : 22[sup]n[/sup]=-1 [An] =>

22[sup]m[/sup]=1 [An], ainsi en notant d le PGCD de An et Am, on a : d|2, ABSURDE, car nos nombres sont impairs, ainsi ils sont premiers entre eux deux à deux, d'où ma conclusion. ça vous va ?

 Posté par 
anonymere :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 22:23
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désolé, j'ai fait n'importe quoi !! je retire ...
 Posté par 
blangre :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 23:07
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Voici ce que je propose:



Soit  un ensemble d'entiers premiers. On suppose que pour tout , il existe  tel que  divise .

Pour , notons  l'ordre de 2 dans le groupe multiplicatif .



Montrons que si on pose , alors  n'est divisible par aucun des , .



En effet si c'était le cas, on aurait   d'où  et donc  diviserait  ce qui est absurde vu que .





Supposons que  soient deux à deux premiers entre eux, alors le raisonnement précédent permet d'exhiber un  qui n'est divisible par aucun des facteurs premiers d'un des  pour .



De proche en proche, on peut donc construire une suite répondant à la question.

 Posté par 
simon92re :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 23:15
@ blang >> 
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bravo  je crois pas avoir toutes les connaissances pour voir dans le détail mais globalement, c'est la même solution que du bouquin ou j'ai tiré ca. 

J'avais une autre solution moins courte prouvant que l'ensemble est infini, mais elle est plus "restrinct": 



 ,  une suite définie pour tout n entier naturel tel que .  donc il existe une inifinité de nianiania...
 Posté par 
blangre :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 23:15
@Simon92



Sinon, d'où vient cet intéressant problème ? Quelle est ta solution ?
 Posté par 
blangre :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 23:17
Ah ben tu as répondu pendant que je rédigeais mon message précédent 
 Posté par 
anonymere :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 23:20
Simon92 >>



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tu as simplement montrer que deux termes successifs de la suites sont premiers, mais quel est ton ensemble où les termes sont premiers DEUX A DEUX ?
 Posté par 
simon92re :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 23:20
la voici 

L'interessant problème je la blank car sinon, j'ai plus de crédulité  : 
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Ca vient d'un exellent livre que je te conseil: Les olympiades de mathématiques: Réflexes et Stratégies de Tarik Belhaj Soulami (medaille d'or peut-être plusieurs fois aux OIM) d'ailleurs, ce livre a eu tellement de succès en 1999 qu'il a été longtemps en rupture, a été réédité mais il n'y en a plus, donc on peut le trouver dna sles gilbert encore neuf si on cherche bien.

je cherche d'ou vient cet exercice particulièrement, mais je le retrouve plus 
 Posté par 
simon92re :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 23:21
Merde 

j'ai mal pigé l'énoncé j'ai l'impression
 Posté par 
anonymere :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 23:22
seul la solution de Blang demeure incontestable et admirable  Bien vu !
 Posté par 
simon92re :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 23:22
blang>> 
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Olympiades internationales 1971
 Posté par 
blangre :  Premiers deux a deux   27-02-08 à 23:25
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Mais le fait que  n'entraîne pas forcément que la suite  est constituée d'entiers deux à deux premiers entre eux 



ex: 5, 7, 5, 7, 5, 7, etc.

  Posté par 
simon92re :  Premiers deux a deux   28-02-08 à 09:05
oui oui, 
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j'ai compris que j'avasi mal interprété l'énoncé, moi j'avais interprété: Montrez qu'il existe une infinité de coupes de nombre de la forme naniania, dont les deux nombres sont premiers entre eux