Bonjour

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Je pense que la parité des membres sera inversée:

si le premier est pair le second sera impair et réciproquement.

C'est sûr.
On peut déjà calculer les 10 premiers termes de la suite . Et oui, les termes consécutifs sont bien premiers entre eux, et ça continue au delà,  jusqu'à ce que les décompositions prennent trop de temps (sur mon pc):

7
2.262147
3.59.283.23203
2.5.5.35573.154543
1489.50993.251203
2.3.13.37.73.97.541.55117
41.1097.253438317037
2.7.11251.914935739527
3.5.11.20548183.398428421

C'est très coûteux de factoriser des (grands) nombres. Il est bien plus efficace de calculer leur PGCD et vérifier que celui-ci est plus grand que 1. En Python celà donne:

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from itertools import count
from math import gcd

prev = 0**19+6
for n in count(1):
    curr = n**19+6
    if gcd(prev, curr) > 1:
        print(n-1)
        break
    prev = curr

Et si p = 39, ça donne quoi modulo 38 ?

Bonjour LittleFox.
Oui tu as raison, c'est beaucoup plus judicieux de calculer des pgcd!
Par contre, si la réponse que j'ai est correcte, le premier contrexemple arrive pour n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798

Donc il doit y avoir une erreur dans ta démonstration (que je n'ai pas encore eu le temps de regarder). A priori Ulmiere a vu quelquechose ...

Si c'est avéré, alors c'est quand meme très intrigant, comme résultat!
Autant de termes pour arriver à un contrexemple! Je ne me l'explique pas.

@Ulmiere
p = 39 n'est pas premier.

Si p=19m+1, il n'y a pas d'inverse et pas de solution à . Donc les p (premiers) = 19m+1 peuvent pas diviser aucun des deux termes.

@fabo34
p = 5299875888670549565548724808121659894902032916925752559262837 est bien un nombre premier de la forme 19m+1 qui divise n^19 + 6 et (n+1)^19 + 6 pour le n donné par fabo34.

L'absence d'inverse n'empêche pas la présence de solution , il va falloir que je revoie ma théorie .

C'est facile de construire des suites vérifiant une propriété pendant un temps aussi long que tu veux.
Par exemple, tu prends le polynôme interpolateur de Lagrange qui vaut 2 en 0, 3 en 1, 5 en 2, ... et en n-1, où est la suite des nombres premiers. Alors il faut attendre jusqu'au rang n pour espérer trouver un k tel que P(k) ne soit pas premier

Ce qui est plus étonnant c'est la capacité de certains polynômes très simples ou de faible degré à produire beaucoup de nombres premiers consécutifs. Par exemple ou

Cet article propose le même exemple avec un autre n. Il trouve la solution en se basant sur le résultant de deux polynômes. C'est la première fois que je rencontre la notion de résultant: (5.4 L'exemple de Delahaye)

Oui tu as raison 39 n'est pas premier, mais 191 = 19 * 10 + 1 l'est et 19 n'est pas inversible modulo puisque pgcd(19,190) = 19
Ta preuve n'est donc pas valide si 191 divise n^19+6.

L'inverse modulo n de m existe
si et seulement le pgcd(m,n) = 1
si et seulement s'il existe u et v entiers tels que um+vn = 1 (Bézout) et dans ce cas, l'inverse en question est congru à u modulo n


Preuve:
Si la relation de Bézout est vraie, il suffit de la passer au quotient pour trouver um + 0 = 1 mod n, donc (les classes de) u et m sont inverses dans Z/nZ.
Réciproquement, si m et n sont premiers entre eux alors m mod n (o ncontinue de l'appeler m) est l'un des phi(n) entiers qui engendrent le groupe des inversibles de Z/nZ, qui  contient 1. Donc il existe k entier relatif tel que m^k = 1. Si k = 1, alors m = 1 est inversible d'inverse lui-même. Si k > 1, m^(k-1).m = m^k = 1.

J'ai testé avec la résultante et on trouve bien le bon facteur p. Je n'ai pas encore attaqué le calcul du PGCD des deux polynômes, c'est pas si simple en python. Peut-être dans d'autres languages plus symboliques?

@Ulmiere
J'avais testé avec 191. Il y a 10 résultats possibles pour n^19 et aucun n'est équivalent à -6. Et donc 191 ne divise pas n^19+6.
Ce 10 n'est pas une coincidence car 191 = 10*19+1. Mais je suis bloqué là.
Comment trouver les solutions (s'il y en a) de n^19 = -6 (p) si p est un nombre premier et 19 n'est pas inversible modulo (p-1)?

Bonjour,
Avec SageMath (libre et gratuit), on corrige la petite erreur de Daniel Perrin :

A.<x> = PolynomialRing(QQ,"x")
P = x^19 + 6 ; Q  = (x+1)^19 + 6
r = P.resultant(Q)
print(r)

B.<x> = PolynomialRing(Integers(r),"x")
D=B(P).gcd(B(Q))
print(D)

n = ZZ(-D(0))
d = (n^19+6).gcd((n+1)^19+6)
print("pour n={}, le pgcd de n^19+6 et de (n+1)^19+6 est {}".format(n,d))