Niveau énigmes

premiers inversés

Posté par
dpi 02-08-22 à 17:32

Bonjour à tous,

flight nous a replongé dans les premiers ,donc un petit exercice pour la route:
En 2 chiffres il y a 21 premiers ,si on inverse leurs chiffres on obtient
9 nombres premiers (exemple 17-->71 ) .
A votre avis quel pourcentage de premiers obtiendra t-on pour les premiers < 1 000 000 ?
Question subsidiaire ,quelle tendance au delà ?

Posté par re : premiers inversés 03-08-22 à 10:24

Pour les premiers entre 400 000 et 699 999, quand on inverse l'ordre des chiffres, aucun des nombres obtenus n'est premier.

Pareil pour les premiers qui commencent par 2 ou 8. Mais, à l'opposé, quand on inverse les chiffres des autres nombres premiers, on a déjà un premier 'test' qui est passé, le nombre obtenu n'est pas pair, et aussi un 2ème test, il n'est pas multiple de 5.
Au final, ce qu'on perd d'un côté, on le gagne de l'autre. A peu de choses près.

Par contre, pour tout nombre premier testé, quand on inverse les chiffres, on est certain que le nombre obtenu ne sera pas multiple de 3.
Et du coup, la probabilité que le nombre obtenu soit premier est un peu supérieure à la probabilité qu'un nombre pris au hasard soit premier.

Si on regarde tous les nombres à k chiffres ( entre $10^{k-1}$ et $10^k-1$ , sur cet intervalle, il y a :

$N_0=6 *10^{k-1}$ non multiples de 3

$N_1= \dfrac {10^{k} }{k \times ln(10) } - \dfrac {10^{k-1} }{(k-1) \times ln(10) }$ nombres premiers.

En partant d'un nombre premier parmi les $N_1$ nombres ci-dessus, en inversant ses chiffres, cela revient à faire un tirage 'aléatoire' parmi les $N_0$ nombres ci-dessus.
Le nombre obtenu sera premier avec une probabilité $\dfrac{N_1}{N_0} \\$

Posté par re : premiers inversés 03-08-22 à 12:18

>ty59847
Merci de ta réponse.
On doit trouver toutes les logiques pour sélectionner.
On doit éliminer les premiers débutant par 2 4 5 6 et 8
puis comme tu l'as fait avancer pas à pas...
Je sais que certains vont chercher,donc je donne en blank le résultat
de mes recherches.

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Posté par re : premiers inversés 03-08-22 à 16:01

salut dpi

ta question ne serait pas plutot " A votre avis quel pourcentage de premiers inversés obtiendra t-on pour les premiers < 1 000 000 ?

Posté par re : premiers inversés 03-08-22 à 19:16

Tout à fait flight pour le premiers purs on a des tables

Posté par re : premiers inversés 04-08-22 à 00:59

Bonjour.

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Posté par re : premiers inversés 04-08-22 à 01:36

Pour dpi: tu parles des premiers à 2 chiffres puis tu demandes une proportion concernant les nombres < 1000000. Est-ce que l'on compte les nombres 2,3,5 et 7? Juste pour être d'accord, cela ne joue évidemment pas pour la tendance.

Posté par re : premiers inversés 04-08-22 à 08:31

>jarod128

Il existe beaucoup d'études sur les premiers palindromes ; j'ai pensé
intéressant de voir ce que donnerait l'étude des premiers totalement
inversés .
On peut bien sûr trouver les premières tranches et en tirer une
tendance hyperbolique .
Sur mon tableau* on voit nettement se dessiner cette tendance.

*j'ai rajouté tes résultats

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