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preuve

Posté par
derny
10-02-19 à 07:49

Bonjour. En fait, je cherche comment prouver que l'expression suivante (a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b)) n'est jamais multiple de abc avec 1<a<b<c<(a+b), dans le domaine des entiers.

**forum modifié**

Posté par
Sylvieg
re : preuve 10-02-19 à 15:12

Bonjour,
Merci d'animer  
En notant  S(a,b,c) = (a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b))  et  d = PGCD(a,b,c)  :
a = da'   b = db'   c = dc'
S(a,b,c) = d3S(a',b',c')   et   abc = d3a'b'c' .

On peut donc supposer  d = 1 .

C'est tout pour le moment.

Posté par
derny
re : preuve 10-02-19 à 21:47

Bonsoir. Sans la dernière condition (c<(a+b)) il y a une infinité de solutions. La plus simple étant 2, 3, 6.

Posté par
carpediem
re : preuve 11-02-19 à 10:29

salut

je ne sais pas si ça peut aider mais on peut remarquer que

n = a^2(b + c) + b^2(c + a) + c^2(a + b) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)

si c divise a + b et a divise b + c et b divise c + a alors abc divise n ... la réciproque n'étant pas (forcément) vraie ...malheureusement ...

Posté par
derny
re : preuve 11-02-19 à 18:10

Bonsoir. Oui j'avais remarqué. Mais je n'ai toujours pas abouti !

Posté par
LittleFox
re : preuve 11-02-19 à 18:34

En fait la contrainte 1<a<b<c<a+b est plutôt contraignante

On cherche x un naturel tel que a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b) = xabc. On peut voir que dans ces conditions, pour a et b donnés, x grandit quand c grandit et donc que x sera minimum quand c = b et maximum quand c = a+b

En remplaçant c dans l'expression du dessus on obtient :

2a/b+2b/a+2 < x < 2a/b+2b/a+3

C'est plutôt étroit pour x et en fait il n'y a qu'une et une seule valeur entière possible pour chaque combinaison de a et b.

Je ne sais pas où ça va mener cependant

Posté par
derny
re : preuve 11-02-19 à 22:06

Merci LittleFox. Je pense qu'on est pas loin du but.

Posté par
derny
re : preuve 12-02-19 à 10:24

Bonjour. En fait, LittleFox, ta démo est terminée. x étant compris entre "Q"+2 et "Q"+3 qui sont 2 nombres consécutifs.

Posté par
Sylvieg
re : preuve 12-02-19 à 10:56

Bonjour,
Attention,  Q  est rarement entier...

Posté par
derny
re : preuve 12-02-19 à 12:05

Oui tu as raison. C'est ce qu'avait déjà signalé LittleFox. Il reste donc bien UNE possibilité. Donc démo à compléter.

Posté par
LittleFox
re : preuve 12-02-19 à 14:58


En modifiant l'équation de la sorte :

c²(a+b)-c(xab-a²-b²)+ab(a+b) = 0

Obtient que c = \frac{xab-a²-b² + \sqrt{(xab-a²-b²)²-4ab(a+b)²}}{2(a+b)}, l'autre valeur de c étant inférieure à a.
x = \lfloor 2\frac{a²+b²}{ab}+3 \rfloor

Il se trouve que ce c n'est jamais entier. Mais je ne sais pas pourquoi.

2(a/b+b/a)+2 < x < 2(a/b+b/a)+3
2(a²+b²)+2ab < xab < 2(a²+b²)+3ab.
(a+b)² < xab-a²-b² < (a+b)²+ab
\frac{1}{2}(a+b + \sqrt{(b-a)²})  = b< c < \frac{1}{2}(a+b + \frac{ab}{a+b} +\sqrt{((a+b)-\frac{ab}{a+b})²}) = a+b

Posté par
derny
re : preuve 14-02-19 à 16:00

Bonjour.
Pour b=2a, pas de solution.
Pour a<b<2a ==> x=7.
Pour 2a<b<(a+b) ==> x>7
C'est tout, c'est "maigre". Une petite recherche informatique ne donne pas de solution. Mais je ne suis pas allé bien loin donc problème non terminé

Posté par
derny
re : preuve 14-02-19 à 16:03

J'oubliais : on a aussi   ab(a+b) = 0 Mod[c]

Posté par
carpediem
re : preuve 14-02-19 à 16:54

derny @ 14-02-2019 à 16:03

J'oubliais : on a aussi   ab(a+b) = 0 Mod[c]
ça veut dire quoi ?

c'est une hypothèse de l'énoncé ?

si oui alors

Posté par
derny
re : preuve 14-02-19 à 18:12

Ca veut simplement dire que l'on a ça si cela peut faire avancer le chmilblic ...

Posté par
Sylvieg
re : preuve 14-02-19 à 18:23

Bonjour,
Je me permets de préciser ce que je crois avoir compris du message de 16h03 :
Si  abc  divise  a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b)   alors   ab(a+b)  est divisible par  c .

Posté par
carpediem
re : preuve 14-02-19 à 18:23

tu ne réponds pas à ma question ...

pourquoi a-t-on cela ?

Posté par
carpediem
re : preuve 14-02-19 à 18:26

Sylvieg : mon msg précédent s'adressait à derny

et pourquoi aurait-on cela ?

Posté par
derny
re : preuve 14-02-19 à 21:24

Carpedien, toi même, tu as constaté aussi (ton message du 11/02 à 10h29) que  a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b) = xabc = ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c).

Posté par
carpediem
re : preuve 15-02-19 à 09:25

certes mais :

x = \dfrac {a + b} c + \dfrac {c + a} b + \dfrac {b + c} a peut être entier sans qu'aucune des fractions ne le soient ...

Posté par
Imod
re : preuve 16-02-19 à 12:24

Bonjour à Derny & cie

J'ai jeté un petit coup d'œil à l'exercice même si je ne suis pas fan de ce genre de problèmes .  Il me semble que par une descente infinie à la Fermat on peut conclure le problème si c est une puissance d'un facteur premier . Pour plusieurs facteurs premiers : je n'ai pas regardé .

Juste pour relancer le problème

Imod

Posté par mathematicienre : preuve 08-06-19 à 01:37

det a et b sont tous des éléments de la sing.

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