Bonjour,
Merci d'animer
En notant S(a,b,c) = (a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b)) et d = PGCD(a,b,c) :
a = da' b = db' c = dc'
S(a,b,c) = d³S(a',b',c') et abc = d³a'b'c' .

On peut donc supposer d = 1 .

C'est tout pour le moment.

Bonsoir. Sans la dernière condition (c<(a+b)) il y a une infinité de solutions. La plus simple étant 2, 3, 6.

salut

je ne sais pas si ça peut aider mais on peut remarquer que



si c divise a + b et a divise b + c et b divise c + a alors abc divise n ... la réciproque n'étant pas (forcément) vraie ...malheureusement ...

Bonsoir. Oui j'avais remarqué. Mais je n'ai toujours pas abouti !

En fait la contrainte 1<a<b<c<a+b est plutôt contraignante

On cherche x un naturel tel que a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b) = xabc. On peut voir que dans ces conditions, pour a et b donnés, x grandit quand c grandit et donc que x sera minimum quand c = b et maximum quand c = a+b

En remplaçant c dans l'expression du dessus on obtient :

2a/b+2b/a+2 < x < 2a/b+2b/a+3

C'est plutôt étroit pour x et en fait il n'y a qu'une et une seule valeur entière possible pour chaque combinaison de a et b.

Je ne sais pas où ça va mener cependant

Merci LittleFox. Je pense qu'on est pas loin du but.

Bonjour. En fait, LittleFox, ta démo est terminée. x étant compris entre "Q"+2 et "Q"+3 qui sont 2 nombres consécutifs.

Bonjour,
Attention, Q est rarement entier...

Oui tu as raison. C'est ce qu'avait déjà signalé LittleFox. Il reste donc bien UNE possibilité. Donc démo à compléter.

En modifiant l'équation de la sorte :



Obtient que , l'autre valeur de c étant inférieure à a.


Il se trouve que ce c n'est jamais entier. Mais je ne sais pas pourquoi.


.

Bonjour.
Pour b=2a, pas de solution.
Pour a<b<2a ==> x=7.
Pour 2a<b<(a+b) ==> x>7
C'est tout, c'est "maigre". Une petite recherche informatique ne donne pas de solution. Mais je ne suis pas allé bien loin donc problème non terminé

J'oubliais : on a aussi   ab(a+b) = 0 Mod[c]

Ca veut simplement dire que l'on a ça si cela peut faire avancer le chmilblic ...

Bonjour,
Je me permets de préciser ce que je crois avoir compris du message de 16h03 :
Si abc divise a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b) alors ab(a+b) est divisible par c .

tu ne réponds pas à ma question ...

pourquoi a-t-on cela ?

Sylvieg : mon msg précédent s'adressait à derny

et pourquoi aurait-on cela ?

Carpedien, toi même, tu as constaté aussi (ton message du 11/02 à 10h29) que  a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b) = xabc = ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c).

certes mais :

peut être entier sans qu'aucune des fractions ne le soient ...

Bonjour à Derny & cie

J'ai jeté un petit coup d'œil à l'exercice même si je ne suis pas fan de ce genre de problèmes .  Il me semble que par une descente infinie à la Fermat on peut conclure le problème si est une puissance d'un facteur premier . Pour plusieurs facteurs premiers : je n'ai pas regardé .

Juste pour relancer le problème

Imod

det a et b sont tous des éléments de la sing.