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Primites avec fonctions

Posté par
Nelcar 09-02-21 à 10:46

Bonjour,
Voici un autre exercice à faire :
On se propose de déterminer l'ensemble (E) des fonctions g définies et dérivables sur ]0;+infini[ et possédant la propriété P suivante :
"Pour x appartient à ]0;+infini[ : g(x) -xg'(x)=2x/x+2".
g étant une fonction définie et dérivable sur ]0;+infini[, on pose, pour tout x appartient à ]0;+infini[ : G(x)=g(x)/x
1) Montrer que g possède la propriété P si et seulement si, pour tout x appartient à ]0;+infini[ : G'(x)=(1/x+2)-(1/x)
2) En déduire l'ensemble (E)

Voici ce que j'ai fait :  (1/x+2)-(1/x) j'ai mis au même dénominateur je trouve (1-x)/(x+2) puis (1-x)/(x+2)-x(dérivée de g) soit (1/(x+2)²= 2x/(x+2)
ensuite j'ai mis tout au même dénominateur et je trouve 2x3+9x²+8x

mais je suis perdue

MERCI

Posté par
sanantonio312re : Primites avec fonctions 09-02-21 à 10:57

Bonjour, pour répondre à la première question, tu dois montrer deux choses:
1: si g(x)-xg'(x)=2x/(x-2) alors G'(x)=1/(x+2)-1/x
2: si G'(x)=1/(x+2)-1/x alors g(x)-xg'(x)=2x/(x-2)

Posté par
sanantonio312re : Primites avec fonctions 09-02-21 à 10:58

J'ai mis les parenthèses là où je pense qu'elles doivent être.

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 11:01

Bonjour

G(x)= \dfrac{g(x)}{x}

Que vaut G'(x) ?

Sachant que  g(x)-xg'(x)= \dfrac{2x}{x+2}   Écrivez G'(x)

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 11:04

Bonjour sanantonio312
Pas nécessairement  je pensais déterminer  a et b tels que \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+2}=\dfrac{2x}{x+2}

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 11:54

Bonjour,
Sanantonio312
1: si g(x)-xg'(x)=2x/(x+2) alors G'(x)=1/(x+2)-1/x  c'est un +
2: si G'(x)=1/(x+2)-1/x alors g(x)-xg'(x)=2x/(x+2)
je ne sais pas comment tu as fait pour trouver G'(x) ? Merci de m'expliquer

hekla
Je ne vois pas comment chercher G'(x) voilà mon problème

MERCI

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 11:57

Re,
j'ai dit n'importe quoi vu qu'on le donne
G'(x)=(1/x+2)-(1/x)

mais comment faire pour arriver à ce résultat

MERCI

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 11:59

En effectuant  tout simplement la dérivée d'un quotient.
La dérivée de g est g' de même que dans le cours on note u' la dérivée de u . Peu nous chaut u

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 12:00

On s'en servira plus tard

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 13:37

re,

dérivée de : (1/x+2)-(1/x)  
= 1/x+1/2-1/x
=ln(x)+1/2-ln(x)

MERCI  je suis suis encore une fois dans "le vent"

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 13:45

Non

  G(x)= \dfrac{g(x)}{x}

on dérive normalement

G'(x)= \dfrac{x g'(x)-1\times g(x)}{x^2}

or g(x) -xg'(x)=\dfrac{2x}{x+2} donc xg'(x)-g(x)=

Donc G'(x)=

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 14:16

Re,
xg'(x)-g(x)=-2x/(x+2)

G'(x)=[-2x/x+2]/x²= -2x/(x+2)   -x-2

MERCI

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 14:24

Vous auriez dû mettre -x entre parenthèses

G'(x)=\dfrac{-2x}{x^2(x+2)}

Ce qui donne après simplification

G'(x)=\dfrac{-2}{x(x+2)}

On va maintenant trouver  deux nombres a et b  tels que \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+2}=\dfrac{-2}{x(x+2)}

Réduction au même dénominateur et identification

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 14:57

Re,
je n'ai pas tout compris car la question me demande :
1) Montrer que g possède la propriété P si et seulement si, pour tout x appartient à ]0;+infini[ : G'(x)=(1/x+2)-(1/x)
je me pose la question g(x), est égal à quoi ?

a/x + b/(x+2) = -2/[x(x+2)]
je met tout au même dénominateur j'ai donc :
ax + 2a +xb= -2

mais après je ne sais pas ce qu'il faut que je fasse

MERCI

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 15:03

D'abord réduire ax+bx= (a+b)x

Le numérateur s'écrit donc \underbrace{(a+b)}_{0}x+\underbrace{2a}_{-2}

d'où a et b

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 15:04

Patience et longueur de temps font plus que force ni que rage

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 15:12

OK mais je ne comprends pas (a+b)x = 0 ?
Sinon je trouve a=-1  et b =0  mais je ne sais pas comment on fait ?
l'ensemble (E)= -x

MERCI

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 15:29

Vous avez bien vu que lorsque vous réduisez au même dénominateur  vous aviez (a+b)x+2a

Pour que ceci soit égal à -2 quel que soit  x il faut bien que le coefficient de x soit nul  et 2a soit égal à-2 donc a =-1 et b=1

On a donc \dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{-2}{x(x+2)}  N'était-ce point ce que l'on voulait  ?

Si g vérifie xg'(x)-g(x)=\dfrac{-2x}{x+2} alors G'(x)=\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x}

Comme on n'a pas posé de condition  on peut donc remonter On a donc bien l'équivalence demandée.

On peut alors passer à la question 2

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 16:06

j'ai bien trouvé le a= -1 mais je ne sais pas comment trouver le b  Merci de m'expliquer.

pour :
2) En déduire l'ensemble (E)
je prends quoi ? G'(x) ?
c'et de quelle forme y'= ax + b ?

MERCI

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 16:09

Si a+b=0 et que a vaille -1 quelle est la valeur de b ?

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 16:44

Désolé de la réponse brève j'avais une livraison

G est par conséquent  une primitive de G'

Sous la dernière forme  l'intégration est facile

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 17:08

pas grave, je comprends
Oui en effet , je n'avais pas fait attention. OK pour a=-1 et b=1
donc je prends G'(x)=1/(x+) -1/x  de la forme de y'=ay+b

c'est ça que je dois prendre (et pour l'instant je n'ai pas vu des aussi difficiles)

MERCI

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 17:17

\dfrac{1}{x}  a pour primitive \ln x

\dfrac{1}{x+2} a pour primitive

G' a pour primitive G  soit

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 17:37

oui 1/x  a pour primitive lnx  ok
1/(x+2)   a pour primitive ln(x+2)

G' a pour primitive G soit ln(x+2)-lnx

MERCI

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 17:55

G(x)=\ln (x+2)-\ln x

Comme g(x)=xG(x) Donc E=

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 18:23

Re,

je ne sais pas on débute seulement d'équation différentielle.
Là je ne sais pas et ne vois pas

MERCI

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 18:24

il faut peut-être ajouter la constante

MERCI

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 18:35

Re,
je viens de voir le corrigé , il fallait que j'ajoute x
donc E=xln(x+2)-xlnx +kx  k est un réel

MERCI BEAUCOUP

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 18:43

E est l'ensemble des fonctions   g \ : \ x\mapsto x\times \ln\left(\dfrac{x+2}{x}\right)+C

  cette fonction vérifie bien  g(x)-xg'(x)= \dfrac{2x}{x(x+2)}

Remarque :
\ln (x+2)-\ln x=\ln\left(\dfrac{x+2}{x}\right)

Si je ne me trompe

Commencer par cet exercice les équa diff  c'est un peu abusé  en fin pourquoi pas.

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 18:46

Oui Cx ou parenthèses

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 19:09

Re,
le prof fait le chapitre : les primitives et les équations différentielles.

MERCI

Posté par
heklare : Primites avec fonctions 09-02-21 à 19:15

Si on fait de l'alpinisme on ne commence pas par l'Everest. On ne commence pas par le plus dur Il y a plus facile avant car il faut  de l'entraînement Idem pour les exercices  sinon c'est vous décourager tout de suite
De rien
Bonne soirée

Posté par
Nelcarre : Primites avec fonctions 09-02-21 à 19:29

Re,

ben oui.... mais on est obligé de faire comme le prof dit

MERCI pour votre aide.
Je vais essayer de refaire des exercices sur les primitives dont je n'ai pas le corrigé demain.


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