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Primitives particulières

Posté par
Metaa
10-08-18 à 12:32

Bonjour,

Je me permets de solliciter à nouveau votre aide car je suis bloqué sur le calcul de certaines primitives particulières

\int_{0}^{3}{\frac{x^2+3x-3x+9-9}{x+3}}dx

Dans un premier temps je transforme la fonction pour pouvoir la factoriser par (x+3) :\frac{x^2+3}{x+3}-\frac{3x+9}{x+3}+\frac{9}{x+3}
Je finis donc par avoir x-3+\frac{9}{x+3}

La primitive des deux premiers termes est très simple, mais je coince sur \frac{9}{x+3}, j'écris cette fonction comme étant 9\times (x+3)^{-1} Mais je suis bloqué lors du calcul de l'intégrale. J'ai mon u=x+3 et mon 3u'=9 mais j'obtiens un dénominateur nul quand j'applique mon 3\times 3\times \frac{(x+3)^{-1+1}}{-1+1}

Je ne comprends pas comment résoudre ce calcul de primitive.

J'ai deux autres intégrales qui me posent problème : \int_{0}^{3}{\frac{x^3+3x}{x^4+6x^2+5}} où j'ai essayé de factoriser par x^3 puis par x^3+3x mais je suis encore bloqué.

Et enfin \int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{1-cos^2(x)}dx} où je ne vois même pas quelle opération de primitive je suis censé utiliser ... Il n'y a pas un moyen de simplifier ce cosinus ?

Je vous remercie d'avance pour vos pistes de résolution.

Posté par
Jezebeth
re : Primitives particulières 10-08-18 à 13:16

Bonjour

Première partie : pourquoi cette écriture ? En général j'aurais dit décomposer en éléments simples \frac{X^2}{X+3} et ça s'intègre très bien.

Idem pour la deuxième.

Pour la troisième, 1-cos^2(x), sous une racine en plus, ça ne vous inspire vraiment rien ?

Posté par
flight
re : Primitives particulières 10-08-18 à 13:18

salut

ca doit pas etre aussi compliqué

ta fraction de depart est    x²/(x+3)    mais x² = (x-3)(x+3)-9

alors  x²/(x+3)= (x-3) - 9(x+3)     et l'integrale est facilement calculable

Posté par
flight
re : Primitives particulières 10-08-18 à 13:19

erreur de signe  lire  x² = (x-3)(x+3)+9   et donc x²/(x+3)= (x-3) + 9/(x+3)

Posté par
Metaa
re : Primitives particulières 10-08-18 à 14:36

J'ai recommencé toutes les étapes, je viens de me rendre compte que j'avais mon \frac{u'}{u}, erreur d'inattention de ma part ...

Pour la troisième intégrale, j'ai quelque chose de la forme \sqrt{u} avec u=1-cos^2(x) mais à ma connaissance, je ne connais pas de primitive de \sqrt{u}.

C'est possible d'écrire que cette intégrale est égale à \int \sqrt{1} + \int \sqrt{cos^2(x)} ? (Primitive de la somme)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Primitives particulières 10-08-18 à 15:05

Citation :
je ne connais pas de primitive de \sqrt{u}.


c'est u1/2u' ? (mais il faut un u' et tu n'en as pas ici) mais pour info, une primitive : u3/2 /(3/2) = 2 u3/2/3 = 2uu / 3

Posté par
Glapion Moderateur
re : Primitives particulières 10-08-18 à 15:11

sinon en relisant tes posts, je me demande si tu ne crois pas que (a+b) = a + b ?

ce que Jezebeth te souflait, c'était que 1- cos²x = sin² x
donc inutile de faire des acrobaties avec ta racine carrée.

Posté par
alb12
re : Primitives particulières 10-08-18 à 15:15

salut, je passe sans intervenir.

Posté par
Metaa
re : Primitives particulières 10-08-18 à 15:25

Désolé, je n'avais pas tout du saisi cette piste, en réalité je ne me souvenais plus bien des formules de trigonométrie.

Merci beaucoup pour votre aide, je vais refaire tout ça.

Posté par
Pirho
re : Primitives particulières 10-08-18 à 18:55

Bonjour,

juste une petite intrusion

pour la 2

x^3+3x=\dfrac{1}{4}(4x^3+12x)

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