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A contient 8 blanches et 4 noires
B contient 5 blanches et 8 noires

On tire 5 boules de A et 7 de B

On a donc les possibilités suivantes (sans compter les arrangements possibles) :
   pour A :
- 5 blanches --> C(5,0) = 1
- 4 blanches 1 noire --> C(5,1) = 5
- 3 blanches 2 noires --> C(5,2) = 10
- 2 blanches 3 noires --> C(5,3) = 10
- 1 blanche 4 noires --> C(5,4) = 5
- tirer 5 noires est impossible.
   pour B :
- 7 noires --> C(7,0) = 1
- 6 noires 1 blanche --> C(7,1) = 7
- 5 noires 2 blanches --> C(7,2) = 21
- 4 noires 3 blanches --> C(7,3) = 35
- 3 noires 4 blanches --> C(7,4) = 35
- 2 noires 5 blanches --> C(7,5) = 21
- tirer 1 noire et 6 blanches ou tirer 7 blanches est impossible.

C au départ est vide, on veut qu'il contienne 12 boules à la fin d'une certaine manière.

Il y a 31 tirages pour A et 120 tirages pour B, ce qui donne en tout 3720 tirages pour le remplissage de C.

Or on veut une composition particulière qui est : 8 blanches et 4 noires. Le tirage de A détermine celui de B.

Si A tire 5 blanches, B doit tirer 3 blanches et 4 noires. --> 1x35 = 35
Si A tire 4 blanches et 1 noire, B doit tirer 4 blanches et 3 noires. --> 5x35 = 175
Si A tire 3 blanches et 2 noires, B doit tirer 5 blanches et 2 noires. --> 10x21 = 210
Si A tire 2 blanches et 3 noires, B doit tirer 6 blanches et 1 noire. --> 10x7 = 70
Si A tire 1 blanche et 4 noires, B doit tirer 7 blanches. --> 5x1 = 5

On a donc 495 tirages qui conviennent à la condition.

Le résultat attendu est donc 495/3720 = 33/248

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Réponse à SecteDuChaton
Non, il n'y a pas 31 tirages possibles pour A.
On peut dire qu'il y a 31 tirages possibles, mais certains sont plus fréquents que d'autres.
Par exemple, pour tirer 1 blanche et 4 noires, imaginons que les boules soient de couleur, et qu'en plus, elles soient numérotées. Ca ne change strictemtn rien à la nature du problème, et avec ces numéros supplémentaires, on voit tout de suite qu'on a 8 tirages possibles pour la blanche, et 1 seul tirage possible pour les 4 noires. Donc 8 façons de tirer (B=1,N=4), et non pas 5 façons.

En dehors de ça, la démarche est effectivement de recenser tous les cas... Je n'ai pas vraiment le courage. Mais, en disant un chiffre au pif, je dirais aux environs de 4%.

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Bon, comme personne ne s'y est collé, j'ai fait tous les calculs, et on arrive à une probabilité de 127008/1359072=9.3%
Mon estimation au pif était très en-dessous de la réalité

Détail des calculs
Urne A : On prend 5 boules parmi B8N4
B5N0 56
B4N1 280
B3N2 336
B2N3 112
B1N4 8
Le total fait bien 12*11*10*9*8/120, c.a.d. 792

Urne B :
B0N7 8
B1N6 140
B2N5 560
B3N4 700
B4N3 280
B5N2 28
Le total fait bien 1716 , ces chiffres sont donc plausibles.

Nombre total de tirages = 792*1716
Nombre de tirages donnant B8N4 = B5N0*B3N4 + B4N1*B4N3 + B3N2*B5N2 = 127008

En relisant la solution de SecteDuChaton, je vois qu'il envisageait le cas où on pioche 7 boules blanches dans l'urne B... ce cas n'existe pas.