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Proba

Posté par
flight
08-01-21 à 19:10

Bonsoir

histoire de se détendre un peu , :

une urne contient 2 boule noires et 2 boules blanches , on effectue des tirages successifs comme suit :
si on tire une boule blanche , on remet la boule dans l'urne et on ajoute une boule blanche .
si on tire une boule noire , on remet la boule tirée dans l'urne sans en changer la composition.
on note X la variable aléatoire égal au rang du tirage qui donnera pour la première fois une boule noire
Que vaut P(X=k) ?

Posté par
Leile
re : Proba 08-01-21 à 19:32

Bonsoir flight

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Posté par
verdurin
re : Proba 08-01-21 à 19:37

Bonsoir,
je dirais

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Et je crois être en mesure de le démontrer.

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 08-01-21 à 23:02

Bonjour,

l'énoncé ne précise pas qu'on tire une boule à chaque tirage mais c'est sans doute sous-entendu.
Ce qui se passe à la suite du tirage d'une boule noire n'intervient pas dans le calcul de P(X=k) puisque qu'on s'arrête quand on a obtenu une noire.

C'est Leile qui a donné le bon résultat.

Question complémentaire : calculer E(X) (c'est un nombre entier).

Posté par
flight
re : Proba 08-01-21 à 23:09

Bravo à Leile !

Posté par
flight
re : Proba 08-01-21 à 23:10

Salut jandri , pour E(X) j'arrive à quelque chose qui est sensiblement egale à 3

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 08-01-21 à 23:17

C'est bien ce qu'il faut trouver.
Pour compliquer un peu la question on peut supposer qu'au départ l'urne contient a boule noires et b boules blanches (mais l'espérance n'est pas toujours un entier).

Posté par
flight
re : Proba 08-01-21 à 23:22

je dirais meme parfaitement egale à 3

Posté par
flight
re : Proba 08-01-21 à 23:44

avec  a boules noires et b boules blanches j'obtiens pour P(X=k)

P(X=k) = (b+k-2)!*(a+b-1)!*a  / (b-1)!(a+b+k-1)!   sauf erreur

pour verifier  :

P(X=1)= a/(a+b)
P(X=2)=ab/(a+b)(a+b+1)

ca à l'air de coller

Posté par
flight
re : Proba 08-01-21 à 23:45

je me pencherais sur espérance demain matin , merci à tous d'avoir participé

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 09-01-21 à 09:34

Bonjour flight,

je suis d'accord pour ta valeur de P(X=k).

Posté par
jandri Correcteur
re : Proba 09-01-21 à 16:11

Pour la généralisation (a boules noires et b boules blanches), l'espérance n'est finie que si a\geq2.

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