Bonjour,
Réponse pratique...

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conso 1.2 -->30/1.2=25

Après de lourds calculs :

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25.13888889

Bravo à tous, la  solution présentée par dpi est élégante, si je comprend bien il a calculé le nombre moyen de bonbons sortis en une journée, ce qui donne bien 6/5, fois un nombre de jours pour atteindre 30 ce qui donne 25 jours
Pour ty59847,.. pas le détail des calculs

Jusqu'au 15ème jour, le processus suit une loi binomiale.
Chaque jour,  Jean consomme 1 bonbon (proba=0.8) ou 2 bonbons  (proba 0.2).
Au bout de 15 jours, il a donc consommé entre 15 et 30 bonbons, et on sait calculer les probas respectives.
S'il a déjà consommé les 30 bonbons, le processus s'arrête.
On sait calculer la proba de s'arrêter au 30ème jour : 0.2^15

Au 16ème jour, on continue le processus de loi binomiale, sauf que la branche qui passait par le point (15 jours, 30 bonbons)  s'arrête.
De proche en proche, on sait calculer la proba que le processus s'arrête au   jour n°i .
Et on sait calculer la moyenne pondérée de tout ça.

Je vous épargne tous les calculs, mais en résumé, en se limitant aux cas les plus probables :
Proba de finir au bout de 24 jours =18.42%
Proba de finir au bout de 25 jours =23.52%
Proba de finir au bout de 26 jours =21.38%
Proba de finir au bout de 27 jours =13.50%

On peut simplifier à l'extrème l'exercice.
On a 4 bonbons dans le sac, et Jean a une proba 50% de consommer 1 bonbon chaque jour, et 50% d'en consommer 2.

L'arbre est assez petit à dessiner, toutes les branches sont équiprobables.
On trouve une moyenne de 2.875, alors que le calcul 4/1.5 donne  2.667

Je pense que l'explication tient au fait qu'on fait une moyenne harmonique dans un cas, et une moyenne arithmétique dans l'autre.

Après réflexion, je pense que la différence s'explique autrement.
Prenons un cas tout simple.
Jean a 3 bonbons dans son sac. Chaque jour il en prend 1, et il en fait tomber 1 avec une proba de 60%
Le calcul direct donne un résultat de 3/1.6, inférieur à 2.
Pourtant, c'est évident que la réponse est quelque part entre 2 et 3,  Jean mangera 2 ou 3 bonbons , jamais plus, et jamais moins.

Pourquoi le calcul précis donne plus que le calcul direct 30/1.2 ?

En fait, quand il reste un seul bonbon dans le sac, Jean a la certitude de manger ce bonbon, et de ne pas en perdre.  
Mais on n'a pas la certitude de passer par ce statut, avec un seul bonbon restant dans le sac. Peut-être qu'on va passer directement de 2 bonbons restants à 0 bonbon restant.

Du coup, en revenant aux données numériques de départ, le résultat est une certaine moyenne entre (29/1.2+1) et (30/1.2)

Environ 0.8 pour (29/1.2+1) et 0.2 pour (30/1.2), ce qui donnerait 25.13333, assez proche du 25.13889

Petit retour sur ce problème, en effet
D une façon très simple si X est la V. A égale au nombre de bonbons perdus du paquet par jour alors, E(X) =1/5=0,2.
Et le nombre moyen de bonbons sortis par jour est alors 1+0.2=1.2 bonbons
Et une règle de 3 donne bien 25 jours (30/1.2)

Du coup , autres valeurs numériques :

Jean possède un sac de 3 bonbons. Tous les jours, il en consomme 1, mais un peu maladroit, il en fait tomber 1 avec une probabilité de 50%..

Au bout de combien de jours en moyenne son sac sera-t-il vide ?

On peut passer par des questions intermédiaires :
- Le sac peut-il être vide dès le 1er jour ?
- Le sac peut-il être vide dès le 2ème jour , quelle est la probabilité ?
- Quelle est la probabilité que Jean mange les 3 bonbons.

Bonjour,

Allez je joue le jeu pour montrer le problème qu'essaye de mettre en évidence ty59847 car selon moi il a raison.

Je raisonne comme flight donc si est la variable aléatoire égale au nombre de bonbons perdus par jour alors
Donc le nombre de bonbons sortis par jour est bonbons.
Une regle de 3 donne jours

Pourquoi ce que je viens de faire est faux ?
Car vaut avec une probabilité s'il reste moins de bonbons dans le sac alors que vaut avec une probabilité et avec une probabilité s'il reste au moins 2 bonbons dans le sac

Raisonnons correctement avec la variable aléatoire égale au nombre de bonbons perdus le jour
a bien une esperance
a une esperance
a une esperance
Donc l'esperance du nombre de bonbons perdus est ce qui veut dire que l'esperance du nombre de bonbons mangés est et cela correspond du nombre de jours avant que le sac soit vide sinon on continuerait à en manger

Vérifions tout ça en répondant aux questions de ty59847
- Non, le sac ne peut pas être vide le premier jour (sauf si je passe par là et que je mange tout mais c'est une autre histoire)
- Oui le sac peut être vide le 2ème jour
soit il y a eu de la maladresse le premier jour, soit il y a eu de la maladresse le deuxième jour donc proba
- On en déduit qu'il y a une probabilité de que Jean mange les 3 bonbons
Si on calcule l'esperance du nombre de jours

Salut ty59847, avec tes données  la  consommation moyenne de bonbons par jour est de 1,5, et avec un sachet de 3 bonbons celui ci serait vide en moyenne au bout de 2 jours.
Par contre pour les questions suivantes
Le sachet peut il d'être vide le premier jour ?.. Je ne comprend pas, si il en mange sûrement un et ne peut faire tomber qu au plus un seul bonbon par jour, je vois pas comment le sachet pourrait se vider le jour même 😊

Euh flight tu devrais lire mon message précédent, ton raisonnement est faux, j'ai tout expliqué ou du moins j'ai essayé...

C'est tout à fait ça.
Le sac de 3 bonbons va tenir soit 2 jours, soit 3 jours. Jamais plus, ni moins.
La moyenne ne peut pas être 2.

On peut éventuellement regarder ce qui se passe le dernier jour.
Il reste un seul bonbon. Tu dis que dans ce cas, Jean mange le bonbon, et il ne fait tomber aucun bonbon.
On peut interpréter l'énoncé différemment. Quand il reste un seul bonbon, peut-être que le bonbon va tomber, et  Jean ne va pas manger de bonbon ce jour là.
On trouve alors un résultat légèrement différent. Mais encore strictement supérieur à 2.

Oups ... 2 messages sont apparus pendant que je tapais mon message. Je répondais au message de 15h16.

Flight :
Le sac peut-il être vide dès le premier jour  : non. tu as raison.
Réponds aux 2 questions qui suivent .

Salut vassilia j ai posté mon message après le tiens mais je n avais pas pu lire le tient avant car ma fenetre de réponse est restée ouverte quelques minutes 😊

J'avais compris que c'est en prenant un bonbon qu'un autre bonbon peut tomber mais si on considère que même lorsqu'il reste un seul bonbon il a une chance sur 2 de le jeter par terre (quel gâchis ), ça change juste la dernière étape, je laisse flight refaire le calcul dans ce cas là  

re...  les scenarios possibles pour que le paquet soit vide au bout de 2  jours sont  :
        jour 1                                  jour  2
1 perdu , 1mangé              1 perdu
1 perdu , 1mangé              1 mangé
    1 mangé                      1 perdu , 1 mangé

bizarre.... ce que ca donne au niveau des proba :D  je vois ou voulais en venir Ty52847 , mettre en avant une ambiguïté  dans l'énoncé , finalement il aurait peut etre fallu le présenter différemment en effet lorsqu'il reste un bonbon la notion " de le manger surement " ne tient plus ....

pour que l'enoncé ait un sens il arait peut etre fallu présenter les choses de cette facon , "chaque jour Jean consomme au plus 1 bonbon , par maladresse il peut le faire tomber avec une proba disons de 0.3 et donc le manger avec une proba de 0.7 ( si le bonbon tombe il n'en prend pas un autre et attend le lendedmain )  et la on peut peut se donner une variable aleatoire X = au nombre de bonbons consommé jusqu'a ce que le paquet soit vide
X peut prendre les valeurs 0,1,2,3
P(X=0)=0,3³
P(X=1) = 3.0.3².07
P(X=2)= 3*0.7².0.3
P(X=3)= 0.7³
et l'esperance du nombre de bonbon consommé serait 2,1

Avec ce nouvel énoncé, ça change tout, effectivement.