L'exercice est très sympa, mais le résultat m'a l'air bien antipathique !

Bonjour, pas sure non plus que le résultat soit si sympa que ça, il faudrait voir ce qui se simplifie, je n'ai pas vraiment cherché.

Avec l'approche récurrence

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si
si
si
car il s'agit du complémentaire de l'événement avoir la séquence "123" dans les n-1 premiers tirages ou devoir attendre les 3 derniers tirages pour l'obtenir (et donc elle n'apparait pas dans les n-3 premiers tirages)

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Soit la matrice suivante avec les états avoir 0,1,2 ou 3 chiffres de la séquence déjà obtenus


Alors la probabilité recherchée est 1-le coefficient en haut à droite de

 Cliquez pour afficher

La probabilité en 0 tirages est de 1, soit environ 100.00%
La probabilité en 1 tirages est de 1, soit environ 100.00%
La probabilité en 2 tirages est de 1, soit environ 100.00%
La probabilité en 3 tirages est de 26/27, soit environ 96.30%
La probabilité en 4 tirages est de 25/27, soit environ 92.59%
La probabilité en 5 tirages est de 8/9, soit environ 88.89%
La probabilité en 6 tirages est de 622/729, soit environ 85.32%
La probabilité en 7 tirages est de 199/243, soit environ 81.89%
La probabilité en 8 tirages est de 191/243, soit environ 78.60%
La probabilité en 9 tirages est de 14849/19683, soit environ 75.44%
La probabilité en 10 tirages est de 14252/19683, soit environ 72.41%
La probabilité en 11 tirages est de 13679/19683, soit environ 69.50%
La probabilité en 12 tirages est de 354484/531441, soit environ 66.70%
La probabilité en 13 tirages est de 340232/531441, soit environ 64.02%
La probabilité en 14 tirages est de 108851/177147, soit environ 61.45%
La probabilité en 15 tirages est de 8462447/14348907, soit environ 58.98%
La probabilité en 16 tirages est de 2707405/4782969, soit environ 56.61%
La probabilité en 17 tirages est de 2598554/4782969, soit environ 54.33%
La probabilité en 18 tirages est de 202020427/387420489, soit environ 52.15%
La probabilité en 19 tirages est de 193898212/387420489, soit environ 50.05%
La probabilité en 20 tirages est de 186102550/387420489, soit environ 48.04%
La probabilité en 21 tirages est de 4822748423/10460353203, soit environ 46.11%
La probabilité en 22 tirages est de 4628850211/10460353203, soit environ 44.25%
La probabilité en 23 tirages est de 493638629/1162261467, soit environ 42.47%
La probabilité en 24 tirages est de 115131438424/282429536481, soit environ 40.76%
La probabilité en 25 tirages est de 12278065357/31381059609, soit environ 39.13%
La probabilité en 26 tirages est de 11784426728/31381059609, soit environ 37.55%
La probabilité en 27 tirages est de 2748484256480/7625597484987, soit environ 36.04%
La probabilité en 28 tirages est de 2637981668267/7625597484987, soit environ 34.59%
La probabilité en 29 tirages est de 2531921827715/7625597484987, soit environ 33.20%
La probabilité en 30 tirages est de 65613405091825/205891132094649, soit environ 31.87%
La probabilité en 31 tirages est de 62975423423558/205891132094649, soit environ 30.59%
La probabilité en 32 tirages est de 20147833865281/68630377364883, soit environ 29.36%
La probabilité en 33 tirages est de 1566361137995936/5559060566555523, soit environ 28.18%
La probabilité en 34 tirages est de 501128571524126/1853020188851841, soit environ 27.04%
La probabilité en 35 tirages est de 480980737658845/1853020188851841, soit environ 25.96%
La probabilité en 36 tirages est de 37393078612370509/150094635296999121, soit environ 24.91%
La probabilité en 37 tirages est de 35889692897798131/150094635296999121, soit environ 23.91%
La probabilité en 38 tirages est de 34446750684821596/150094635296999121, soit environ 22.95%
La probabilité en 39 tirages est de 892669189877812583/4052555153018976267, soit environ 22.03%
La probabilité en 40 tirages est de 856779496980014452/4052555153018976267, soit environ 21.14%
La probabilité en 41 tirages est de 274110915431730952/1350851717672992089, soit environ 20.29%
La probabilité en 42 tirages est de 21310314960092394529/109418989131512359209, soit environ 19.48%
La probabilité en 43 tirages est de 6817845154370793359/36472996377170786403, soit environ 18.69%
La probabilité en 44 tirages est de 6543734238939062407/36472996377170786403, soit environ 17.94%
La probabilité en 45 tirages est de 508732158393971660438/2954312706550833698643, soit environ 17.22%
La probabilité en 46 tirages est de 488278622930859280361/2954312706550833698643, soit environ 16.53%
La probabilité en 47 tirages est de 468647420214042093140/2954312706550833698643, soit environ 15.86%
La probabilité en 48 tirages est de 12144748187385164854342/79766443076872509863361, soit environ 15.23%
La probabilité en 49 tirages est de 11656469564454305573981/79766443076872509863361, soit environ 14.61%
La probabilité en 50 tirages est de 1243091349360029275649/8862938119652501095929, soit environ 14.03%

Bonjour,

je ne suis pas d'accord avec la formule de récurrence donnée par Vassillia.

Si on note le nombre de mots de lettres prises dans n'ayant pas la séquence , la relation de récurrence d'ordre 3 vérifiée par est :

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Je pense que tu te trompes, tu viens de donner la probabilité de ne pas avoir la séquence "111" et elle est différente de la probabilité de ne pas avoir "123"
D'ailleurs pour le cas "111" avec ma manière de raisonner on trouve

Pourquoi il y a une différence entre les 2 ?
111 est plus "difficile à obtenir" car une fois le premier 1 obtenu, le seul chiffre intéressant est 1
123 est plus "facile à obtenir" car une fois le premier 1 obtenu, avoir un 2 est idéal bien sur mais avoir 1 n'est pas si mal car on a toujours un chiffre de correct.

Bonjour Vassillia,

tu as tout à fait raison, j'ai fait une erreur de raisonnement en écrivant ma formule de récurrence qui (par hasard) s'applique au cas de la séquence 111.

En corrigeant mon raisonnement je trouve bien les mêmes formules de récurrence que toi pour et :

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et

Bravo à Jandri et à Vassilia  , de mon coté j'ai fais appel à la formule du crible ( je n'ai pas pu attendre une formule toute faite ...)
mais le raisonnement est le suivant  , ce qu'on ne veut pas avoir  c'est à la fois ( par exemple pour n =5 )
1 2 3 _  _ evenement a1
_ 1 2 3  _  evenement  a2
_ _  1  2 3   evenement a3
et on cherche P(non a1 non a2 non a3)=  1 - P( a1 U a2 U a3) = 1- [P(a1)+ P(a2)+P(a3) - P(a1a2) - P(a1a3)-P(a2a3)+P(a1a2a3)] =1- [ 3*3²/3⁵ - 0  - 0 - 0 + 0 ] = 1 - 3³/3⁵ = 216/243 donne environ 0,88

puis procéder à une généralisation avec n lancés mais les calculs à faire deviennent plus compliqués .

Bonjour

de 1 à 999999 il y a    400  séquences  123 cela vérifie-t'il votre approche?

Bonjour,

dpi
je ne comprends pas à quoi correspond ce 400 : quand on compte le nombre total de séquences 123 dans les chaines de longueur 3 à 6 qui sont formées avec les chiffres 1, 2 et 3 on trouve seulement fois.

flight
La formule du crible s'applique de la même façon pour 5 et pour . La seule difficulté c'est de compter combien de chaines de longueur possèdent la séquence "123" aux positions disjointes .
Pour cela il suffit de placer ces séquences "123" et les autres chiffres, on trouve façons.

On en déduit

Bonsoir
J'ai fait un arbre jusqu'à 5 tirages pour avoir tous les tirages possibles.
Pour n=3 --> 26/27
Pour n=4-->77/81
Pour n=5 -->234/243

.... je reviens
n=6-->689/729, etc d'où la formule simple :
(2x3^n - 3^(n-2) + 1) / 2x3^n

Bonsoir derny,

Je ne sais pas ce que tu fais mais il semble y avoir une erreur.
Regardons ensemble pour n=4, je suis d'accord pour avoir 81 cas possibles mais quels sont les cas interdit ?
123x où x peut valoir 1 ou 2 ou 3
x123 où x peut valoir 1 ou 2 ou 3
Soit au total 6 cas interdits donc une probabilité (81-6)/81=75/81=25/27

Je signale que j'ai donné dès le premier message les valeurs pour tous les cas jusqu'à n=50, tu peux vérifier tes résultats si cela t'intéresse.

Ci-dessous l'image qui n'est pas passée

Bonsoir Vassillia
Je n'ai fait aucun calcul de probabilité pour ce problème. J'ai fait un arbre qui représente tous les cas (je me suis arrêté à n=6). Cela fait 729 colonnes pour 6 lignes. En fait je n'ai fait que 243 colonnes car j'ai regroupé les 3 résultats de la dernière ligne sur une colonne.
Tout ça avec un tableur. Ci-dessous les 50 premières colonnes (car plus serait illisible car trop petit). Tu pourras compléter le tableau.

Désolée, j'ai toujours un peu de mal à comprendre ce que tu fais mais de toute façon, comme je viens de te le montrer, ton résultat est faux, tu as surement mal compté quelque chose, es tu d'accord ?

Pas du tout. Tu ne comprends pas mon arbre ? Refais-le en entier (c'est vite fait).

Je n'ai pas besoin de le refaire, je vois bien que pour n=4, j'ai en tout 3^4=81  cas possibles qui vont correspondre à tes colonnes et que parmi ceux là, j'ai 6 colonnes qui contiennent la séquence 123 pour être plus précise :
1231
1232
1233
1123
2123
3123
Je dois donc les enlever et je trouve une probabilité de (81-6)/81

Tu as sûrement raison. J'ai fait mon arbre "vite fait". Et j'ai compté le nombre de 123 consécutifs. Je vais reprendre en raisonnant pour voir pourquoi mon arbre est faux. Pour l'instant je ne suis pas encore convaincu.

Disons que je suis relativement sure de moi à ce sujet.
Tu peux refaire ton arbre mais tu peux aussi t'entrainer à l'imaginer de tête, cela évite les erreurs, imaginons tous les cas possibles :
1111
1112
1113
1121
1122
...
3333
On en a bien 3^4=81 puisqu'on a 3 choix pour chaque chiffre. Il suffit ensuite d'enlever les cas problématiques, reprendre mon message précédent.

Je ne sais pas ce que tu sous-entend pas 123 consécutifs mais il n'y en aura qu'un seul au maximum dans une séquence avec n=4

Bonjour Vassillia et à tous
Ca y est. Je me suis mis à réfléchir (enfin). Tu as bien sûr raison. Mon arbre ne comptait que les séquences "123". Je l'ai repris et je retrouve bien tes valeurs.

>jandri
Bonjour,
Mon 400  était optimiste pour 1 à 99999:
Il y 100 séquences   123 xx   de   123 00 à 12399
100 séquences x123x de 01230 à  91239
100 séquences  xx123 de  00123 à 99123
soit 300.
Mais je suis certainement hors sujet...

J'en ai peur ...
La question était.
On a un dé, avec 3 numéros seulement : 1 , 2 ou 3. Quand le dé tombe sur une autre face, on annule le lancer, et on relance le dé, jusqu'à obtenir 1, 2 ou 3.

On lance ce dé plein de fois.  Et à chaque fois que le dé sort 1, 2 ou 3, on écrit ce chiffre sur un papier.
Et on répète l'opération par exemple jusqu'à obtenir 10 chiffres sur le papier.
On obtient donc une chaine, avec 10 chiffres.

Si on es très ''veinard', on peut obtenir 1111111111 , ou encore 1231231231
On considère qu'on a perdu si dans la chaine obtenue, il y a au moins une fois les 3 chiffres 123, collés, dans cet ordre.
1112223333 : gagné
1231111111 : perdu
3322112322 : perdu
3213213213 : gagné   etc etc etc

La question, c'est donc : quelle est la probabilité de gagner ?

Bonjour,

J'ai du mal avec cet exercice:
On cherche les séquences 123.
1/en faisant une observation de 3000 tirages aléatoires ,j'ai trouvé
129 séquences 123 soit 2871 sans .

2/en cherchant par tranches,j'ai trouvé pour 3-->1/27 ; pour 4--->6/81 ; pour 5--->  30/243 ; pour6 ---> 109/729

Bo,jour,
On a donc un "dé "de 3 faces   puisqu'on ne compte que celles-ci.
Pour des essais aléatoires on plafonne à 4 %.
Par contre si on observe les nombres formés uniquement avec les chiffres1 ,2 et 3 on trouve le tableau suivant.
Je n'arrive pas à comprendre ........

Pour généraliser le nombre de séquences 123 dans les nombres formés uniquement avec ces 3 chiffres est:
n= avec bien sûr n>2

Bonjour dpi, à partir de n=6 ce que tu fais ne correspond plus vraiment à la question, on veut le nombre de séquences qui vérifient ou pas la propriété contenir la séquence "123"

Il y a 622 séquences de 6 caractères qui n'ont pas la séquence "123"
Il y a 107 séquences de 6 caractères qui ont la séquence "123"

Toi tu comptes 108 au lieu de 107 car tu comptes 123123 comme 2 séquences je présume alors que non, c'est une seule séquence qui comporte bien "123", on s'en fiche du nombre de fois où ça apparait.

Je ne sais pas si ça résout ton problème, j'avoue ne pas trop comprendre ce que tu essayes de calculer dans ton message précédent.

Oui
si dans un nombre ,je trouve x fois la séquence j'ai pris x.
Ma formule généralise bien le total des séquences 123.

J'attends la réponse définitive ...en observant l'aléatoire je trouve
assez peu de 123 donc beaucoup de gagnants.

Je ne sais pas ce que tu as programmé comme aléatoire mais j'ai donné les probas de ne pas avoir la séquence "123"en fonction de n jusqu'à 50 (voir mon premier message).

C'est la bonne réponse en fait, tout le monde est d'accord. Une simulation conforme à la question devrait s'en approcher plus ou moins. Après si tu simules autre chose, c'est une autre histoire puisque c'est une autre question.

Pour espérer te convaincre dpi, une simulation que j'ai en grande partie piquée à GBZM comme je maitrise mal Python mais je sais que c'est le langage bien vu. On retrouve bien les résultats théoriques que j'avais annoncé.

import random as rd
import string
alphabet=string.ascii_uppercase

def test(mot,nalp,n) :
    presence=0
    der = ''.join(rd.choice(alphabet[:nalp]) for i in range(len(mot)))
    if der!=mot:
      for i in range(n-len(mot)):
        der = der[1:]+rd.choice(alphabet[:nalp])
        if der==mot : 
            presence=1
            break
    else : presence=1
    return presence

def freq(mot,nalp,n,m):
    somme=0
    for i in range (m):
        somme+=test(mot,nalp,n)
    return 1-somme/m

for i in range(3,26):    
  print ("La fréquence observée sur 100000 essais pour {0} tirages est de {1:.2f}".format(i,freq("ABC",3,i,100000)))

Je suis d'autant plus convaincu que mon aléatoire était  de 129/3000*
soit 4%  de 123 soit  96 % autres  comme ta
première ligne.

* si peu
Dans ma prochaine vie ,j'apprendrai à programmer