Bonjour,

on et bien d'accord que pour les deux premiers   12 ne convient pas
mais que 21 convient

Bonjour
fligth va te répondre mais pour moi c'est non.

bonjour à tous,  les deux premiers termes sont par exemple
8 et 3  (on ajoute pas 1 à l'un d'entre eux  pour passer à l'autre
mais par contre c'est le cas pour le deux derniers  comme par exmple
12 ou 21

Bonjour

Le problème revient à compter des paires , sauf erreur :

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(4/5) X (2/7) = 8/35

fligth tu ne réponds pas clairement à la question. Dis-moi si je me trompe mais tu veux que les 2 premiers ne soient pas consécutifs et que les 2 derniers le soient ?

Comme flight précise bien que pour la fin  on peut avoir par exemple 32 ou 23 ,je pense que pour le début ,consécutif veut dire
45 interdit   mais pas  54...
C'est important pour les décomptes

Comme toujours , chacun interprète à sa façon et Flight répond à côté

Moi j'ai compris d'abord deux non consécutifs quel que soit l'ordre puis deux consécutifs toujours quel que soit l'ordre .

Imod

Pour moi, même compréhension que Imod, mais par contre c'est 7/45 :
(2*(6*7+2*7+5*6+2*2*6+4*5+2*3*5+2+3*4)+2*4*4+2*3+2*3)*2/(10*9*8*7)

On tire 4 nombres a,b,c,d dans cet ordre

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Univers = 10.9.8.7 tirages possibles.
Pour le couple (c,d), on a 9.2 tirages compatibles
Pour chaque tirage de (c,d), pour a, on a 8 nombres possibles.
Et pour chaque choix (a,c,d) pour b, on a soit 5 nombres possibles, si les 2 voisins de a sont encore disponibles, soit 6 nombres possibles, soit même  7 nombres possibles si par exemple on a choisi a=1 et c=2 et d=3
Une chose est sure, on arrive à quelque chose entre 9.7.2.5=630  et 9.7.2.7=882
Plus proche de 630 que de 882
Donc en proportion, proche de 14%
Sur tous les tirages de (a,c,d), combien donnent 7 possibilités pour b :
Uniquement 4, ce sont (1,2,3)(1,3,2)(10,8,9)(10,9,8)
Combien donnent 6 possibilités pour b ?
C'est quand a vaut 1 ou 10, mais qu'on n'est pas dans les cas ci-dessus
Donc 28 cas
Ou quand a ne vaut ni 1 ni 10, mais est collé à c ou d. Soit 28 cas à nouveau.
Donc, sur les 9.2.7=126 tirages possibles pour (a,c,d), on a
4 cas qui donnent 7 solutions
56 cas qui donnent 6 solutions
et donc 66 cas qui donnent 5 solutions
Total 28+336+330=694 solutions
Sur un univers de 5040 tirages possibles
Proba=694/5040=13.8%

Solutions non valides :
3245   : 3 et 2 sont consécutifs
2356  : 2 et 3 sont consécutifs

Solutions valides :
3645
1923
1832

7/45 = 1,55555... je vous dis !

0,155555...

Et si on part avec les nombres de 1 à 100, on trouve 97/4950.

Fidèle à mon habitude,j'ai fait un modèle.

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pour 4    24 combinaisons dont 4 valables
pour 5    120                                        24
pour 6    720                                       144
pour 7    5040                                     960  
pour 10  3 628 800           563 000

Ben ton modèle ne marche pas, dpi.

Es-tu au moins d'accord que pour 5 chiffres
sur  120 tirages possibles  ,24  sont valables ?

C'est dingue, personne est d'accord avec personne. Je trouve 752 cas favorables sur les 5040 soit 14.92% environ.

Pour 5040 ,je peux te lister les 960 cas de mon modèle.
ou bien faire un sondage pour voir si on est ok.

Par symétrie tu peux diviser par 2 les résultats.

y a qu'à demander

dpi je ne comprends pas, tu fais 7 tirages alors qu'on en demande 4 !

Et où sont les nombres jusqu'à 10 ?

Bonjour, pour vous départager, j'ai écrit le programme vite fait :

import itertools
def main():
    total, reussite = 0, 0
    for subset in itertools.permutations(range(1,10+1), int(4)):
        total +=1
        if abs(subset[0]-subset[1])!=1 and abs(subset[2]-subset[3])==1:
            reussite +=1
    return reussite/total

Comment compter ?

On se donne k nombres : de p+1 à p+k.
1°) Combien peut on former à partir de ceux-ci  de couples de nombres  ?
2°) de couples de nombres  consécutifs (dont la différence est 1 en valeurs absolue) ?
3°) de couples de nombres non consécutifs ?
0n part maintenant des nombres de 1 à n.  On en retire une paire de nombre consécutifs. Il reste les nombres avant et les nombres après.  Les couples de nombres non consécutifs parmi ceux qui restent sont formés :
- soit d'un nombre avant et d'un nombre après
-  soit de deux nombres non consécutifs avant
- soit de deux nombres non consécutifs après.

Si on exploite ça, on obtient sans grande difficulté la formule (Maple)

add(binomial(max(0,k-1),2)+binomial(max(0,n-k-3),2)+k*(n-k-2), k=0..n-2)/6/binomial(n,4)

Bonne réponse de GBZM 😊😊

>derny
Ma méthode était de tester le pb en  observant l'évolution de 4 à 10
chiffres ,l'exemple  en jaune correspond à 7
960 cas pour 5040 soit  0.19  comme pour  5 et 6 on trouve 0.2
il semble logique de dire que pour 10 on doit être autour de  0.16 .
Au passage Vassillia pourrait-elle tester 8 et 9 que j'estime à 0.18 et 0.17

La formule que j'ai écrite donne immédiatement
pour 8 nombres : 5/28,
pour 9 : 1/6.

Je ne suis pas sûre de comprendre ta question dpi mais si tu parles du contexte initial avec 4 chiffres :
-entre 1 et 9, on obtient 1/6
-entre 1 et 8, on obtient 5/28
-entre 1 et 7, on obtient 4/21
Mais la formule de GBZM est tout de même nettement plus jolie qu'un programme et pas si difficile à obtenir finalement

Après nettoyage sévère, la formule se réduit à

Je soupçonne qu'il y a un argument combinatoire qui amène directement à cette formule simple. Mais c'et argument combinatoire n'est peut-être pas si évident à trouver ... avis de recherche.

voici ce que je trouve pour des entiers compris entre  1 et n  (toujours avec un tirage de 4 entiers de facon successif et sans remise ) :

P  = [C(n-3,2).4.(n-1) + 4(n-3)] / n(n-1)(n-2)(n-3)

si n = 10 on trouve  

P = (21*4*9 + 4*7) / 10*9*8*7 = 784/5040 = 7/45.

pour n = 8

P = (10*4*7 + 20) / 8*7*6*5 = 300/1680 =5/28

cette formule peut surement etre reduite mais j'ai preferé la présenter ainsi ....

Bonjour,
Je viens en  "détente" pour me distraire.
Si je sais* ou je peux ,je  calcule...
Sinon ,j'essaye de trouver un résultat proche .
Ici, je cherchais par approches successives la formule magique
que GBMZ  a trouvé 2(n-3)/n(n-1).

On peut constater que mon 960/5040 =4/21 est exactement la réponse.
Et que pour 8,9,10 j'étais proche.

*grâce à l  je révise...

En fait la formule "magique" de GBZM s'explique assez facilement , le nombre total de possibilités est alors que le nombre de cas favorables est . On le voit très bien en commençant par regarder les paires {3,4}  .

Imod

..en simplifiant mon expression on retombe pile sur la formule simplifiée de GBZM

C'est évident mais en quoi cette simplification explique le résultat ?

Imod

Imod, peux-tu détailler ?
Je ne comprends pas comment tu comptes les "cas favorables". Et comme tu avais commencé par te tromper en "comptant les paires" avec une formule (4/5)x(2/7) (d'où vient-elle ??), je me méfie ...

Tu as raison de te méfier , je n'aligne pas deux lignes de calcul sans une erreur

Il s'agit de choisir deux paires d'entiers , une parmi n termes et l'autre parmi n-2 et il est clair qu'on peut inverser les deux choix proposer par Flight . Pour la liste des cas favorables , c'était mon premier calcul mais je me suis trompé comme souvent . On suppose que les valeurs 3 et 4 sont choisies en premier et on cherche le nombre de possibilités pour 1 et 2 . Ce nombre est sauf pour les deux paires extrêmes .. Après il y a un petit calcul à faire et on trouve cas favorables . Le reste est facile .

Imod

Je t'ai vu faire des raccourcis bien moins lisibles

On se donne deux tirages 3 et 4 convenables et on compte les tirages 1 et 2 qui conviennent  pour compléter .



On compte en tout :

  cas favorables parmi les possibilités .

Imod

Merci.

Je vois que le
binomial(k-1,2)+binomial(n-k-3,2)+k*(n-k-2)
de ma formule (17-06-22 à 17:48) est indépendant de pour et vaut toujours .
Mais je ne vois aucune raison combinatoire pour ça (et je n'en trouve pas dans ce que tu écris).

L'idéal serait de faire apparaître une situation équivalente où les bons choix reviendraient à choisir n-3 éléments parmi les paires  d'entiers dans [[1,n]] mais je n'y crois pas trop .

De là à dire qu'il n'y a rien de combinatoire

Les cas favorables : .
L'ensemble des cas : .

Après la simplification tombe toute seule .

Imod

Ben non, je ne suis pas satisfait par l'aspect combinatoire.

Ma philosophie est que quand on a un résultat de dénombrement qui s'exprime avec une belle formule comme , on devrait pouvoir traduire le problème de façon qu'il soit évident après traduction que ce qu'on cherche à dénombrer revient à choisir une paire parmi et un élément parmi .
Point de départ : compter le nombre de façons de choisir parmi 1,...,n une paire de consécutifs et une paire de non consécutifs disjointe de la précédente.

Globalement tu répètes ce que je dis en ajoutant que tu n'es pas content

Il y a une simplification "miraculeuse" des   mais je vois mal un cadre qui peut l'expliquer , qui sait ...

J'ai fait une petite erreur dans l'écriture des cas favorables : .

Imod

Juste en passant,  je n'ai pas consacré de temps à la question.

On peut peut-être passer par un exercice proche.
On considère que les nombres 1 à n sont 'cycliques'. Autrement dit, 1 et n sont considérés comme consécutifs.
Du coup, le problème semble plus simple :
Combien de dispositions (a,b,c,d) donnent c et d consécutifs, mais a et b non consécutifs, avec cette nouvelle définition du mot consécutif.

Et dans un second temps, on regarde les solutions qu'on a enlevées à tort (parce que a=1 et b=n) ou celles qu'on a comptées à tort (c=1, d=n).
Par symétrie,  ces 2 nombres sont égaux (j'ai quand même un petit doute sur ce point). Et donc le problème initial ou le problème reformulé seraient identiques ?

Oui, ça donne une approche plus directe.

Comptons en termes de paires : on veut une paire consécutive (paire C) et une paire non consécutive disjointe (paire N).

Sur le cercle le nombre de couples (paire C, paire N) se calcule facilement  :



Maintenant on coupe. Il faut enlever les couples (paire C, paire N) où la paire C est à cheval sur la coupe. Reste



Mais par contre il faut ajouter les nouveaux couples avec la paire N qui vient de la paire à cheval sur la coupe : il y a   tels couples de paires.

Au final, le nombre de couples de bonnes paires est



Ce n'est pas encore ce que je voudrais, mais j'en demande peut-être trop ...