Niveau exercices

Proba

Posté par
flight 04-08-22 à 17:47

bonsoir

Je vous propose l'exercice suivant ; on dispose de 4 lettres de l'alphabet qui sont a,b,c et d , on effectue des tirages avec remise de ces lettres (une lettre à la fois par tirage ) jusqu' a obtenir p fois la lettre "d" et les tirages s'arretent ensuite , on note X la variable aléatoire égale aux nombres de tirages à effectuer pour arriver à cet objectif . ( pour X= k on considerera que kp ).
Quelle est la loi de X et que vaut son esperance ?

Posté par re : Proba 04-08-22 à 23:44

$P(X=4)= 1/4^4$
$P(X=5)= 1/4^4*(3/4) *4$
et pour n>5

$P(X=n)= 1/4^4*(3/4)^{n-4} *(n-1)*(n-2)*(n-3)/6$

On vérifie avec un tableur que la somme de toutes les probas donne bien 1
Les 2 valeurs les plus fréquentes sont n=12 ou n=13. ( ce n'était pas demandé, mais tant pis)
Et l'espérance de X est 16, ce qui est assez conforme à l'intuition.