Bonsoir Ulmière on peut deviner que X et Y suivent des lois uniformes  discretes

Bonjour
C'est un exercice assez banal, étudié au lycée, donc d'un niveau très accessible.

L'indication donnée par Ulmiere  est assez claire.
Flight précise que la loi de probabilité est uniforme sur les entiers 1...n+1
Ainsi, pour tout entier z appartenant à cet intervalle, on a  
P(X >= z) = (n+2-z)/(n+1)
Donc
P(Z >= z) = (n+2-z)² / (n+1)²



J'ai lu la réponse où un soit-disant "spécialiste en proba" répond 1/3  (si si !! il affirme "J'ai fait la simulation et il n'y a aucun doute, la probabilité est 1/3 "), donc un résultat qui ne dépend même pas de de z... très fort.
Faire des simulations, c'est bien, à condition de comprendre la situation, ce qui n'est visiblement pas le cas de tout le monde.
Et dire que ce "spécialiste" veut nous faire croire qu'il sait résoudre des problèmes complexes (réels). Cela m'a toujours amusé.

Souvent, ce "spécialiste"  parle plus facilement de "triche sur le hasard" et de "faute de moralité" que de mathématiques. Il vit dans sa bulle, convaincu qu'il a tout lu sur les probas, qu'il a tout compris. Ces deux copains lui disent pourtant qu'il ne comprends pas le vocabulaire et les notions de base. Mais que voulez vous, quand on est sourd et aveugle...
Depuis longtemps de toute manière, il a renoncé à comprendre le b-a-ba des probas, les  livres qu'il a pourtant en main... et même l'histoire des probas.

Pourquoi l'égalité  P(Z>=z) = P(X>=z) P(Y>=z)   est vraie ?

Z = min(X,Y)
donc Z >= z est donc équivalent à  X>= z  et  Y >= z
Donc P(Z >= z) = P( X>= z  et  Y >= z )
De plus , X et Y étant des variables indépendantes,
alors P( X>= z  et  Y >= z ) = P( X>= z ) P( Y >= z )

conclusion :  P(Z >= z) = P( X>= z ) P( Y >= z )

Bonjour,
Le 1/3 vient peut-être du fait que quand on tire deux réels de manière uniforme et indépendante dans [0,1], l'espérance du minimum est 1/3.

Bonjour,
Presque. Le "spécialiste" à écrit un programme pour trouver le min entre 2 nombres pseudo-aléatoires choisis entre 0 et 100.
Puis il est tout fier d'avoir réussi à calculer 2 moyennes expérimentales 31.61 et 33.40 obtenues en répétant 1000 exécutions du programme.
Bravo GBZM pour ton instinct !
Ça faisait longtemps que je n'avais pas regardé, ça ne s'arrange pas le nombre de bêtises et/ou phrases incompréhensibles mais du coup, peut-être que ce n'est pas la peine d'y répondre.

Merci pour ces précisions !

Ok, quand ne sait que calculer des moyennes, on ne fait que ça...

Rapport EMQ/EMA = 1.19
Comme quoi, ce "hasard" du min(X,Y) ne suit par une loi normale.
Enfin, je dis ça...

Juste en repassant, l'espérance du min(X,Y) pour les variables X,Y précisés par Flight (iid loi uniforme sur  1..n+1) est
(n + 2). (2 n + 3)   /  6. (n + 1)
ce qui n'est pas 1/3  (sauf si n = infini...)
Et pour  n=100, l'espérance est 3451/101 , ie 34.168...

Moi, ça ne me dérange pas de correspondre à Beagle, s'il le veut.

On peut remarquer que si est une troisième variable aléatoire de même loi que et et indépendante de et , on n'a pas  , car alors et ne sont pas des événement indépendants : sachant que , a "plus de chance" d'être aussi plus petit que .