Bonjour,

on peut généraliser avec la probabilité d'avoir juste pour et pour . L'espérance de vaut :

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c'est-à-dire avec les valeurs numériques

Bonsoir Jandri , je suis passé par une simulation mon resultat est bien eloigné du tient , peut etre me suis je trompé ...
voici mon code :

Sub simu()
Randomize
e = 0
c = 0
Do
e = e + 1
k = 0
  Do
  k = k + 1
    p = Rnd  'joueur A
    q = Rnd  ' joueur B
  Loop Until p >= 0 And p < 1 / 3 Or q >= 0 And q < 2 / 7
  c = c + k
Loop Until e = 1000000
MsgBox c / e ' retourne 1,9 essais
End Sub

finalement mon code n'est pas correct je vais le reprendre

code corrigé donc daccord avec ton resultat

par le calcul on a  bien pour A , la proba de gagner au rang k:
P(X=2k)=(10/21)^k*(2/5)   et pour B ;  P(X=2k+1)=(10/21)^k*(1/3)

pour A l'esperance est E = 2k.(10/21)^k*(2/5)  , pour k compris entre 1 et l'infini , ce qui donne 168/121.

pour B l'esperance est E = (2k+1).(10/21)^k*(1/3)  , pour k compris entre 1 et l'infini , ce qui donne 217/121

la somme  168/121 + 217/121 =385 /121 = 35/11  

Bonsoir,
je ne suis pas d'accord avec la réponse de jandri.
Si a=0 on a une loi géométrique de paramètre b dont l'espérance est 1/b et non 2/b.

En supposant que les chances de réussite de A et B sont indépendantes X suit une loi géométrique de paramètre a+b-ab, sauf erreur de ma part.

Ça peut se modéliser facilement par une chaîne de Markov à trois états A, B, et delta (cimetière, absorbant). C'est récurrent positif, irréductible, à espace d'états finis... donc il existe une unique proba invariante, on la calcule et le résultat est 1/pi(delta)

Bonjour verdurin,

tu fais une erreur :
quand a=0 le joueur A a faux à tous les coups mais il joue quand-même donc B ne peut gagner qu'à un rang pair.
Par suite l'espérance de X est le double de l'espérance de la loi géométrique.

Dans le cas général X ne suit pas une loi géométrique car la loi de X fait intervenir la parité du rang de la partie pour lequel le jeu s'arrête.

À jandri :
j'ai effectivement mal lu l'énoncé.