Niveau exercices

Proba

Posté par
flight 12-06-24 à 17:56

Bonsoir

je vous propose l'exercice suivant  ;

On dispose d' une urne et d'un jeton non équilibré , l'urne contient initialement 24 boules rouges et 27 boules blanches .
Avec le jeton qui donne " face" avec une probabilité de 1/3  et "pile" avec la probabilité contraire  on effectue l'experience suivante :
on jete successivement le jeton , si on obtient "face" (proba 1/3) alors on retire deux boules rouges de l'urne qu'on ne remet pas en place , si on obtient "pile"(proba 2/3) on retire trois boules blanches de l'urne qu'on ne remet pas  en place, et on procede ainsi jusqu'a obtenir une seule couleur de boule dans l'urne .
Combien de lancés de jetons en moyenne seront necessaires ?

Posté par re : Proba 12-06-24 à 19:08

Bonsoir,
j'obtiens une formule avec un sigma qui ne se simplifie pas.
Je trouve comme valeur approchée de l'espérance :

Cliquez pour afficher

Posté par re : Proba 13-06-24 à 08:54

Bonjour,

Cliquez pour afficher

Posté par re : Proba 13-06-24 à 10:17

Cliquez pour afficher

Posté par re : Proba 13-06-24 à 11:55

Bonjour

Bravo à tous , je propose ma formule , certainement celle dont parle Jandri que je salut ,

E(T)= k*C(k-1,11)*(1/3)¹²*(2/3)^(k-12) + k*C(k-1,8)*(2/3)⁹*(1/3)^(k-9) , la premiere somme va de k =12 à 20 et la seconde somme va de k = 9 à 20. on obtient pour la premiere somme : 0,245 et pour la seconde somme 13,21 soit un total de 13,21+0245 = 13,45

ce qui colle bien avec les resultats que vous avez fournis

Bravo à tous !

Posté par re : Proba 13-06-24 à 22:34

Bonsoir,
j'ai bien la même formule que celle de flight.

Posté par re : Proba 14-06-24 à 08:01

En toute simplicité:

Dans le meilleur des cas il faut 27/3 piles pour éliminer les blanches
ce qui pratiquement donne 9 piles et 4.5 faces soit 13.5 lancés.

Posté par re : Proba 15-06-24 à 21:18

Bonsoir,
il y a une complication inutile de l'énoncé : au lieu d'avoir initialement 24 boules rouges et 27 boules blanches puis de retirer deux boules rouges si on obtient "face" et trois boules blanches si on obtient "pile" il revient exactement au même d'avoir initialement 12 boules rouges et 9 boules blanches puis de retirer une boule rouge si on obtient "face" et une boule blanche si on obtient "pile".

Sous cette forme on peut généraliser à une urne qui contient initialement $a$ boules rouges et $b$ boules blanches.
On jette successivement un jeton qui donne " face" avec la probabilité $p$ et "pile" avec la probabilité contraire $q=1-p$ : si on obtient "face" on retire une boule rouge, si on obtient "pile" on retire une boule blanche.
$X$ est le nombre de lancers jusqu'à obtenir une seule couleur de boule dans l'urne.

Le calcul de $E(X)$ donne la formule de flight généralisée qui ne se simplifie pas en général sauf dans le cas particulier où $p=\dfrac a{a+b}$ (proportion initiale des boules rouges). On trouve alors un résultat très simple pour $E(X)$ :