correction lire  " un ami ayant deja été confronté à cette meme experience m'a fait savoir qu'il lui a fallu en moyenne 2 essais pour tomber sur une bonne clé et ouvrir cette porte  .

Bonjour,

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Si p=1  on 7/2  essais en moyenne 3.5 .
si p=7 on a bien sûr 1 essai.
si on a une moyenne de 2 essais  on se situe sur la courbe  entre 2 et
3 et comme il faut un nombre entier ,je dirai 3 clés.

Bonjour,

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Il se trouve que

3/7+2*(4/7)(3/6)+3*(4/7)(3/6)(3/5)+4(4/7)(3/6)(2/5)(3/4)+5(4/7)(3/6)(2/5)(1/4)=2

donc je dirais 3 clés. _{sauf erreur}

Bravo à vous deux   c'est bien 3 clés

Pourriez vous trouver une generalisation , avec un trousseau de n clés dont p clés qui ouvre la porte et dont il faut trouver le nombre sanchant qu'on connait le nombre moyen de tentatives pour ouvrir la porte ?

salut

je pose q = n - p le nombre de clés n'ouvrant pas la porte

pour ouvrir la porte au k-ième essai il faut échouer k - 1 fois donc choisir k - 1 clés ordonnées parmi les q et choisir une clé parmi les p

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pour tout k compris entre 1 et q + 1 = n - p + 1 :

Je m'aperçois qu'hélas j'ai mal recopié "ma" formule (deux fois le même dénominateur). Je rectifie :

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Bonjour ,

j'obtiens  une formule assez simple pour l'esperance en fonction de p

sauf erreur  E = p.(n+1)/12

je suppose aussi que vos formules sont bonnes  

par contre Larrech dans ta formule je note un truc qui cloche
quand k =1  les bornes du produit vont de r =0 à r = 1-2   ?

...pareil avec Carpediem

son "j"  va de 0 à 1-2=-1  lorsque k =1 .....

@flight

Quand n=7 et p=6, "ma" formule donne une espérance égale à 1 (donc en moyenne 1 tirage suffit à obtenir une bonne clé) et celle que tu proposes donne 4, ce qui me paraît beaucoup...

on utilise la convntion que quand p > q alors

larrech : n'aurais-tu pas oublier un terme dans la somme :

avec n et p alors on a alors le cas k = n - p + 1

ce qui arrive quand on tire les n - p mauvaises clés et il faut encore prendre une bonne clé

re... avec n = 7  clés  et E = 2   alors  p = 3   avec ma formule , je ne vois pas d'erreur Larrech

J'ai simplement calculé E dans le cas p=6, n=7.

carpediem J'avais hésité, mais, de fait tu dois avoir raison

Bonsoir,

la formule donnée par flight le 17-02-23 à 16:23 n'est pas la bonne (je ne vois pas du tout à quoi correspond le 12 au dénominateur).

La bonne formule est .

En effet cela revient à répartir aléatoirement p bonnes clés parmi n clés. Cela revient encore à placer au hasard les n-p mauvaises clés relativement aux p bonnes clés. Chaque mauvaise clé à la même probabilité d'être dans chacune des p+1 positions relatives au p bonnes clés : avant la première, entre la première et la seconde, ... , après la p-ième.
La probabilié qu'elle soit avant la première bonne clé est donc égale à et l'espérance du nombre de mauvaises clés avant la première bonne clé est donc égale à .
L'espérance du rang de la première bonne clé est donc égale à .
Pour et cela donne bien .
Pour et cela donne bien .
Pour et cela donne bien .

Merci d'avoir relevé l'erreur jandri   j'ai recopié un mauvais brouillon en pensant que c'etait le bon resultat

tout calcul fait si X est la VA donnant le rang d'apparition de la bonne clé alors  
P(X=k)= p.(n-p)!(n-k)! / n!(n-p-k+1)!  
et son esperance vaut :
E(X)=k.p.(n-p)!(n-k)! / n!(n-p-k+1)!  , pour k compris entre 1 et n-p+1   ce qui donne  n(n+1).(n-1)!/(p+1)n!  
soit donc  (n+1)/(p+1)    

Je suis d'accord avec la valeur de P(X=k) donnée par flight.
C'est la méthode à laquelle j'ai pensé en premier pour calculer E(X).
La méthode que j'ai donnée ci-dessus est une méthode astucieuse qui permet d'éviter les calculs.

Bonjour
Comme d'habitude j'essaye de réponde le plus rapidement possible
(c'était la règle dans les "énigmes" ...)
J'ai donc eu l'intuition de la courbe de jandri et la réponse avec
les données de l'énoncé ne pouvait êtres que 3