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Probabilité

Posté par
superninie
07-02-21 à 00:34

Bonsoir, Voici mon problème.
Alice et Bob jouent aux dés. Ils disposent d'un dé tétraédrique comportant sur ses faces les nombres de 1 à 4, et d'un dé cubique comportant sur ses faces les nombres de 1 à 6. Les deux dés sont supposés équilibrés.
La règle du jeu est la suivante : on lance les deux dés en même temps et on retient le plus grand nombre des deux.
Partie A :
Si un joueur choisit le résultat qui sera retenu alors il gagne la partie, sinon il perd.
Bob choisit le 3, alors qu'Alice choisit le 4.
1) Effectuer 100 simulations de cette expérience aléatoire (tableur). Réussi
2) a) Illustrer la stabilisation des fréquences d'obtention de 3 et de 4 sur un même graphique Réussi
b) A l'aide de ce graphique, peut-on déterminer qui de Bob ou d'Alice a le plus de chance de gagner ? C'est Alice qui a choisit le 4
c) Que devrait-on faire pour permettre de décider plus sûrement ? Est-ce changer une des conditions de départ comme celle de retenir le plus grand des 2 nombres
3) Calculer la probabilité d'obtenir 3 et celle d'obtenir 4.  Est-ce P(3)=1/4*1/6=1/24 et P(4)=1/4*1/6*1/2=1/48 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilité 07-02-21 à 09:20

Bonjour,
Je ne réponds que pour 3) :
Ce que tu proposes est faux.
Impossible d'aider sans avoir une idée du raisonnement fait pour écrire les produits proposés.
Un indice : Les résultats sont des sommes de produits.

Pour 2)c), je n'ai pas les compétences. Quelqu'un d'autre pourra mieux te guider.
Mais je peux quand même affirmer qu'il ne s'agit pas de changer l'expérience aléatoire.
Mais de changer la manière d'obtenir un échantillon de simulations (par exemple, simuler 500 simulations au lieu de 100), ou les analyses faites à partir de l'échantillon.

Posté par
ty59847
re : Probabilité 07-02-21 à 12:19

En lisant l'exercice, j'ai trouvé un peu bizarre cette question 2c). En lisant la réponse de Sylvieg (faire 500 simulations au lieu de 100)... ça devient beaucoup plus clair.

Pour la question 3, la réponse que tu donnes est contradictoire avec ce que tu as répondu aux questions précédentes.
Normalement, avec le graphique dessiné à la première question, tu peux simplement lire  la réponse sur le graphique . Sur le graphique, tu auras une estimation , ici, on te demande un calcul ... qui viendra normalement confirmer l'estimation.

Posté par
superninie
re : Probabilité 08-02-21 à 23:33

Bonsoir,
Merci pour votre aide et après relecture j'arrive bien à P(3)=5/240.2 et P(4)=7/240.3

Posté par
superninie
re : Probabilité 09-02-21 à 01:05

Rebondissement, il y a une suite au problème.
Bob propose à Alice de gagner des bonbons. Pour jouer Alice doit donner un bonbon à Bob à
chaque partie.
Si le résultat du jeu est impair, elle gagne 2 bonbons, sinon elle ne gagne rien.
1) Définir une variable aléatoire permettant de répondre aux questions suivantes, et y
répondre.
Soit X la variable aléatoire qui donne le gain algébrique d'Alice tel que X={-1;1} avec P(X=-1)=14/24 et P(X=1)=10/24
a) Alice doit-elle accepter ce jeu ?
Comme E(X)=(X=-1)*P(X=-1)+(X=1)*P(X=1)=-1/6 qui représente la notion de moyenne, ce jeu est favorable à Bob et donc Alice ne doit pas accepter ce jeu.
b) Est-il possible que le jeu soit équitable, avec une autre mise de départ ?
Pour que le jeu soit équitable avec une autre mise de départ m, il faut que E(X-m)=0
E(X)-m=0
-1/6 -m=0
m=-1/6
Or, j'ai un doute sur ce dernier résultat car quand je recalcule l'espérance avec cette nouvelle mise je ne trouve pas E(X)=0.
Pouvez-vous éclairer ma lanterne?

Posté par
ty59847
re : Probabilité 09-02-21 à 11:21

Tu t'es pris les pieds dans le tapis sur un truc tout simple. Tu calcules des choses, mais à la fin du calcul, tu ne sais plus ce que tu calcules.

On prend un peu de recul :

Le -1/6 que tu as trouvé, c'est l'espérance du jeu :
{{{ Alice mise 1 bonbon, et gagne 2 bonbons si le résultat est impair }}}
Dans ce jeu là, à chaque partie, Alice perd en moyenne 1/6 de bonbon.
Pour que le jeu devienne équilibré, il faut ...

Posté par
superninie
re : Probabilité 10-02-21 à 00:54

Bonsoir,
Pour que le jeu devienne équilibré, il faut que Alice mise 1+1/6=7/6 de bonbons.
Ensuite,
c) Calculer l'écart-type de la variable aléatoire et interpréter la valeur trouvée dans le
cadre du jeu.
Or V(X)=P(X=-1)(X=-1-E(X))^2+P(X=1)(X=1-E(X))^2
V(X)=7/12(-1+1/6)^2+5/12(1+1/6)^2
V(X)=105/108
et donc[b] (X)=V(X)
(X)0.988
Si j'ai bien compris cela signifie qu'Alice perdra toujours 1/6 de bonbons +/- 1.

d) Alice est-elle sûre de perdre des bonbons en jouant avec ces conditions ?
Je crois que oui.

Posté par
lafol Moderateur
re : Probabilité 11-02-21 à 17:39

Bonjour
je n'ai pas vérifié tes calculs pour les probas de gain ou de perte

en admettant que ce soit bien 14/24 = 7/12 pour pair et 10/24 = 5/12 pour impair,

que penses -tu de l'espérance de la loi correspondant à une mise de 5 bonbons, si le résultat est impair elle gagne 12 bonbons, sinon elle ne gagne rien ?

Posté par
superninie
re : Probabilité 12-02-21 à 00:29

Bonsoir,

Désolée mais je ne suis pas assez calée en probabilité pour voir le lien entre votre réponse et ma question.

Posté par
lafol Moderateur
re : Probabilité 12-02-21 à 12:05

b) Est-il possible que le jeu soit équitable, avec une autre mise de départ ?

Quelles valeurs prendra X avec la mise et le gain que je t'ai proposés ? Quelle sera son espérance ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Probabilité 12-02-21 à 12:07

outre le fait que miser un sixième de bonbon soit complètement irréaliste, tu n'as visiblement pas recalculé ton espérance

Posté par
ty59847
re : Probabilité 12-02-21 à 18:14

Quand Alice mise 1 bonbon à chaque partie pour avoir le droit de jouer, Alice est 'perdante', et elle perd en moyenne 1/6 de bonbon à chaque partie.

Pour que le jeu soit équilibré, il faudrait que Alice mise à chaque partie :
1+1/6 de bonbon à chaque partie ?
1-1/6 de bonbon à chaque partie ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Probabilité 12-02-21 à 21:20

c'est bien un truc de prof de maths, la mise de 1+1/6 de bonbon ....



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