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Probabilité avec deux V.A.C

Posté par
LeTesla
07-01-21 à 11:29

Bonjour,
Je suis tombé sur un exercice du type :
-X suit une loi exponentielle de paramètre
-Y suit une loi exponentielle de paramètre

Calculez P(X<Y).
En premier lieu je me suis dit que j'allais faire quelque chose comme ça :

 P(X<Y) = $\int_{0}^i P(X<i)P(Y>i)di$

et faire apparaître les densités dans les intégrales pour obtenir un résultat final en fonction de lambda et mu. Bon, c'est totalement faux, dans le corrigé il est écrit :

P(Y>X) = $$\int P(X< i) f_{y}(i)di$$

J'ai beau retourné mon cours je ne trouve aucune explication sur cette égalité, je me dis que ça doit être la formule de transfert mais je ne la trouve pas. Pouvez-vous m'éclairer ?

Posté par
LeTesla
re : Probabilité avec deux V.A.C 07-01-21 à 11:44

Je me suis trompé :

P(Y>X) = $\int P(Y>i) f_{x}(i)$

avec f la densité de la variable X

Posté par
GBZM
re : Probabilité avec deux V.A.C 07-01-21 à 11:55

Bonjour,

On ne peut rien dire si on ne fait pas d'hypothèse d'indépendance. L'as-tu oubliée ?
On suppose donc que X et Y sont indépendantes. On a alors la densité conjointe deX et de Y, et il suffit d'intégrer cette densité conjointe sur l'ensemble des (x,y) tels que x<y. Cette intégrale double, qui te donne immédiatement l'une ou l'autre des deux formules que tu as écrites.

Posté par
LeTesla
re : Probabilité avec deux V.A.C 07-01-21 à 12:54

Merci beaucoup !

Pouvez-vous me dire si mes égalités sont correctes ?

P(X<Y) = $\iint_{u}^{0}f_{(X,Y)}(u,v)dudv

Puisque les variables sont indépendantes on peut écrire l'égalité suivante :

f_{(X,Y)}(u,v) = f_{X}(u)f_{Y}(v)

Donc :
P(X<Y) = $\int_{0}^{\infty}f_{(X)}(u)(1-F_{Y}(u))du}

P(X<Y) = $\int_{0}^{\infty}\lambda e^{(-\lambda u)}e^{-\mu u}du}

P(X<Y) = \tfrac{\lambda}{\lambda + \mu}

Posté par
Ulmiere
re : Probabilité avec deux V.A.C 07-01-21 à 13:21

Ici t'as du bol parce qu'on tombe pile sur la fonction génératrice des moments de Y.

P(X<Y) = E(1_{\{X<Y\}}) = E(E(1_{\{X<Y\}}|Y)) = E(1-e^{-\lambda Y}) = 1 - \left(1-\dfrac{-\lambda}{\mu}\right)^{-1} = 1-\dfrac{\mu}{\lambda+\mu} = \dfrac{\lambda}{\lambda+\mu}

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