Niveau autre

Probabilité chaine de markov

Posté par
moman10 01-07-14 à 16:21

Bonjour,

J'ai un petit exo sur une chaine de markov mais je ne suis pas sur de mon résultat.

Donc la question est de savoir quel sera la probabilité d'être dans un état ou un autre à long terme.

J'ai donc dit que la matrice des probabilités est :

0.1	0.9
0.1	0.9

Donc pour

:
x1 = 0.1*x1 +0.9*x2
et x2 = 0.1*x1+0.9*x2 donc x1=x2 donc à l'infini, on a autant de chance d'être dans x1 que dans x2 ??

Voilà, le résultat me parait bizarre donc je ne pense pas avoir fait ce qu'il fallait.

Donc si quelqu'un peu m'expliquer comment ça marche, je suis preneur.
Merci.

Probabilité chaine de markov

Posté par re : Probabilité chaine de markov 01-07-14 à 16:41

Bonjour
que représentent x1 ? x2 ? 50 ? non50 ? tu ne crois pas qu'avec l'énoncé ce serait plus simple ?

Posté par re : Probabilité chaine de markov 01-07-14 à 16:50

C'est vrai que ce n'est pas très clair mais je vais essayer de mieux expliquer (je n'ai pas l'énoncé).

Alors 50 et non50 sont des états, on peut les remplacer par 0 et 1 pour simplifier (ce qui est écrit dans le rond n'a pas d'importance).

Donc la question est de savoir quelle est la probabilité d'être dans le premier état (50) ou le second (non50) à long terme (infini).

Ici x1 représente la probabilité d'être dans le premier état et x2 dans le second.

Je ne suis pas sur de la méthode que j'ai utilisé mais pour moi, a l'infini :

x1 = 0.1*y1+0.9*y2
x2 = 0.1*y1+0.9*y2
et y1+y2 =1

Je ne sais pas si ce que j'ai écrit à un sens mais dans le cas ou ça n'en aurait pas, pouvez vous me donner une méthode pour le résoudre ?

Merci.

Posté par re : Probabilité chaine de markov 01-07-14 à 17:28

déjà il faudrait distinguer le premier état et le second état à quelle étape du processus !

en notant $p_n$ la probabilité d'être à l'étape n dans le premier état, celle d'être à l'étape n dans le second état est $q_n = 1-p_n$ , non ?

si je lis bien ton graphique, $p_{n+1} = 0.1p_n + 0.1q_n = 0.1$ car $p_n + q_n = 1$ (0.1 de ceux qui étaient dans le premier état = $0.1p_n$ et 0.1 de ceux qui étaient dans le second = $0.1q_n$ passent dans le premier état à l'étape suivante)

du coup, pas besoin d'aller à l'infini pour avoir la répartition 10% à l'état 1, 90% à l'état 2 : dès la première étape c'est réalisé.