Bonjour,

oui cela peut se résoudre mathématiquement.

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Je note le nombre de listes de longueur dont les termes sont des entiers entre 1 et 6 et qui n'ont pas trois 6 consécutifs.
En distinguant les cas où une telle suite se termine par zéro fois 6, une fois 6 ou deux fois 6 on obtient une expression de en fonction de et .
Comme se calculent facilement on en déduit (avec un petit programme), puis la probabilité demandée (avec l'événement contraire).

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0,104 à 0,001 près

A chaque dé lancé on a 1:6 chance de faire un six et 5:6 de faire autre chose. Si on avait déjà une série de k six alors ça ne change rien, sinon on a un six supplémentaire à la fin de la séquence. Dans le cas ou c'est le k ème six alors on a une série de six.

Soit la probabilité d'avoir une série de six en lancés. Et soit la probabilité d'avoir une séquence sans série de six se terminant par six. On a :



Je confirme la réponse de jandri  :
Il faut 180 lancés pour avoir plus d'une chance sur deux d'avoir eu une série de 3 six.

J'ai oublié de noter les cas de base




On suppose .

Il faut 50294353 lancés pour avoir plus d'une chance sur deux d'avoir vu passer une série de 10 six. A raison d'un lancé par seconde pendant deux heures par jour, il faut un peu moins de 20 ans .

Pour calculer ce résultat j'ai écrit la matrice de transition (11 états) et utilisé l'exponentiation rapide appliqué à une matrice.

Bonjour,

Merci pour vos réponses claires et éclairées. Je comprends bien votre méthode. Mais j'ai du mal à comprendre ce a quoi correspond Q_k(n,x), et la façon dont il faut s'en servir.

J'essaye de prendre en main la solution en modifiant la probabilité (Pile ou face, dé à 4 face,etc), la série à atteindre, et le nombre de lancés. J'imagine que vous utilisez matlab (ou un substitut) pour faire vos calculs de suite. Pourriez-vous me décrire votre programme ?

Je vous remercie pour l'attention que vous prêtez pour étancher ma curiosité

est la probabilité de l'évènement opposé à . Ainsi est la probabilité d'avoir vu passer la série de k six en lancés. Alors que est la probabilité de ne pas l'avoir vu passer. est décomposé en fonction du nombre de six vus dernièrement pour permettre de passer à quand on en a vu . Ainsi est la probabilité après 20 lancés de n'avoir jamais vu 5 six d'affilée alors que les 3 derniers lancés étaient des six.

Modifier la probabilité revient à modifier les facteur et dans les équations que j'ai donné.

Je travaille en python et j'ai implémenté directement les équations, j'ai un vecteur pour et un tableau à deux dimensions pour . Pour n allant de 1 au nombre de lancé j'ajoute une colonne qui correspond à et à partir de la colonne précédente. La première colonne est le cas de base.

En matlab (ça fait longtemps que j'en ai plus fait ), je passerais plutôt par la matrice de transition (cf chaînes de markov ) puisque matlab aime tant les matrices :

% Calcule la matrice de transition (Q(n,0),Q(n,1),...,Q(n,k-1),P(n)) -> (Q(n+1,0),Q(n+1,1),...,Q(n+1,k-1),P(n+1))
function T = getT(k,p)
    T = zeros(k+1);
    % La probabilité de passer de Q(n,x) vers Q(n+1,0) est 1-p pour tout x.
    T(1:k,1) = (1-p)*ones(k,1);
    % La probabilité de passer de Q(n,x) vers Q(n+1,x+1) est p pour tout x (On passe à P(n+1) pour x = k-1).
    for i = 1:k
        T(i,i+1) = p;
    end
    % P(n) passe toujours vers P(n+1)
    T(k+1,k+1) = 1;
end

% Calcule la probabilité d'avoir au moins une série k évènements à la suite après n essais si la probabilité d'un évènement est p
function p = getProb(k,n,p)
    % On démarre dans l'état Q(0,0)
    S = zeros(1,k+1);
    S(1) = 1;
    % La probabilité est celle de l'état P(n) qui est obtenu en appliquant n fois la matrice de transition à l'état de départ.
    p = (S*getT(k,p)^n)(k+1);
end

Bonsoir,

un programme "léger" en Python pour avoir le résultat :

k,Pxxx,Pxx6,Px66,P666=0,1,0,0,0
while k<30:
    k+=1
    Pxxx,Pxx6,Px66,P666=(Pxxx+Pxx6+Px66)*5/6,Pxxx*1/6,Pxx6*1/6,Px66*1/6+P666
print("Probailité au moins trois 6 à la suite en 30 lancers =",P666)