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probabilité , mesure , intégration
Bonsoir ,
J'ai un espace mesuré ( X, T , m) et un espace probabilisé ( grand oméga , A , P)
Soit fn une fonction définie sur X x grand oméga à valeurs dans R
la suite (fn) vérifie 3 hypothèses :
1. la fonction fn est mesurable pour la tribu produit A xT
2.il existe δ>0 tel que pour tout η>0 il existe Cn>0 et Nη ⋲N tels que
n≥Nη implique p(w⋲grand oméga , ∫∣fn(w,x)∣ puissance (1+δ) dm(x) ≥Cη) ≤η)
3. pour presque tout x⋲X , la suite (fn(.,x)) converge en probabilité vers 0
Soit ε>0 fixé
Montrer que pour tout M>0 et n≥Nη
p(w⋲ grand oméga ,∣ ∫ fn(w,x)1dm(x)∣≥Cη/M^δ)≤η
Pouvez vous m'aider ou me dire quel type de cours je peux trouver sur internet à ce sujet
Merci beaucoup
Bonjour.
Soit ε>0 fixé
Pas plutôt
?
p(w⋲ grand oméga ,∣ ∫ fn(w,x)1dm(x)∣≥Cη/M^δ)≤η
C'est quoi ce 1 dans l'intégrale ?
Il y a quelque chose qui ne va pas. Tel que c'est écrit ça n'a aucune chance d'être vrai. Si c'est vrai pour M quelconque alors ça doit être vrai pour M aussi petit que l'on souhaite, donc l'intégrale est presque sûrement infinie. De plus, il n'y a rien d'asymptotique dans la question donc l'hypothèse 3 ne sert à rien. As-tu bien recopié l'énoncé ?
Bonjour William ,
Oui l' énoncé est écrit exactement comme cela . C' est bien epsilon fixé .
Le 1 est la fonction indicatrice
Oui l' énoncé est écrit exactement comme cela .
Je reste dubitatif. Par exemple la fonction indicatrice. C'est la fonction indicatrice de quel ensemble ? Parce que là tout ce que je vois c'est un 1.
Et on était censé le deviner ?
Il y a l'inégalité
qui donne une réponse évidente à une question très proche de celle que tu as posée mais qui n'est pas ce que tu as écrit.
Donc es-tu sûr de ton énoncé ? ...
Où trouve t on cette inégalité ?
Dans quel type de cours ?
Ce n'est pas vraiment une inégalité de cours. C'est une inégalité assez évidente qui est pratique dans ce genre de situation.
Si tu veux absolument voir cette inégalité dans un cours, prend n'importe quel cours sur la théorie de la mesure, ou probabilités mais vues comme branche de la théorie de la mesure, et regarde la démonstration de l'inégalité de Markov (ou celle de Bienaymé-Tchebychev) qui utilise classiquement une inégalité de ce genre.
Excusez moi , je reviens sur ce post
Je trouve des démonstrations de l'inégalité de Tchebytchev mais beaucoup plus simples que dans le cas d'un espace produit comme ici.
Pouvez vous m'orienter sur une démonstration que vous connaissez avec fn(oméga,x) comme variable aléatoire ?
Merci beaucoup de m'aider car je n'arrive pas à décoller de cette première question de mon exercice
Tu veux une démonstration de l'inégalité
?
C'est une application directe de l'inégalité
à .
Pour le prouver :
Si , alors l'indicatrice de droite est égale à zéro donc l'inégalité est triviale.
Si , alors l'indicatrice de droite vaut 1 et
C'est exactement ce que je cherchais
Vous êtes le James Bond des maths !
C'est pour ça qu'il y a 007 à la fin de votre pseudo!!!!
Bonjour ,
J'ai une autre question maintenant
Soit M>0 , on pose λ=ε/2m(X)
Montrer que limite quand n tend vers +∞ de ∫P(∣fn(ω,x)∣≥λ)dm(x) =0
Faut il utiliser la convergence en probabilité vers 0 de la suite (fn) mentionnée dans l'énoncé de départ?
Merci
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