Merci Vassillia pour ce problème.
Pour la question 1 :

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Je dirais 1/8.
En fait choisir trois points revient à choisir trois angles.
On peut par une rotation et une symétrie droite se ramener au cas où le premier est 0 et le deuxième b est positif.
Pour que le triangle soit acutangle le troisième c doit être négatif et on doit avoir b-c<

Bonjour

Pour la première question , je trouve une proba de :
  

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  0.08

Bonjour,
Pour la question 1 :

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Je raisonne un peu comme verdurin.
Mais je ne trouve pas comme lui
Soit A le premier point choisi sur le cercle, et A' le point diamétralement opposé.
Les deux autres points doivent être chacun sur un des deux demi cercles de diamètre [AA'].
Je trouve ainsi 1/2.

Oups ! je m'ai trompé

Moi aussi

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et non comme je l'écrivis plus haut.

Bonjour

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Avec un des angles polaires nul, les deux autres et :

L'art et la manière d'expliciter le problème en un schèma.
Bravo verdurin et GBZM mais alors la probabilité avec une sphère ? Les paris sont ouverts : plus, moins ou pareil ?

Bonjour,

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J'avais trouvé 1/4 pour 1)
En posant 4 points cardinaux on détermine les cas d'angles droits
en s'en écartant d' on obtient des angles aigus.
pour 2)
Une sphère présente à  nos yeux  la face convexe ce qui physiquement augmente ce ratio .Je dirai sans autre preuve 1/2

Pour la seconde question.

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Je trouve à nouveau 1/4.
En effet on peut commencer par tirer au hasard ( mais pas avec équiprobabilité ) un plan  qui détermine un cercle sur la sphère puis on tire les trois points sur ce cercle.
La probabilité pour que ces points déterminent un triangle acutangle ne dépend pas du cercle, d'où la conclusion.

Et si on parle du triangle sphérique  déterminé par ces trois points sur la sphère ? Ça se complique.

C'est sans doute plus compliqué mais on peut remarquer que l'aire du triangle doit-être petite par rapport à celle de la sphère et en conclure que cette proba doit-être assez petite aussi.
Je parierais sur un résultat plus petit que 1/4.

Ta réponse pour la question 2 n'est pas correcte verdurin, tu ne pourras pas démontrer que les sommets sont répartis de façon équiprobable sur le cercle et pour cause, ils ne le sont pas.
Pour le triangle sphérique, oui, à l'instinct ce sera plus petit, la somme des angles d'un triangle curviligne pour une sphère de rayon 1 est avec S l'aire du triangle donc on devrait dépasser plus facilement

Pas d'accord avec verdurin pour le cas du triangle plat

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Je trouve 1/2
Soit le demi-angle d'ouverture au centre de la sphère  entre et , autrement dit la moitié de la distance entre ces deux points sur la sphère.   varie entre et et la densité de sa distribution est .
Pour placer sur la sphère de façon à avoir un triangle (plat) acutangle, il faut enlever de la sphère une calotte sphérique de hauteur (pour s'occuper de l'angle en et deux calottes sphériques de hauteur (pour s'occuper des angles en et .
La probabilité d'un triangle obtusangle est donc



Au vu du résultat, il y a sûrement un raisonnement plus astucieux.

Et pour le triangle sphérique acutangle, vous pouvez jouer ici : . Le calcul s'annonce coton !

En effet les points ne sont pas répartis uniformément sur le cercle

Pour le triangle sphérique ce n'est pas très  difficile :

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Étant donné deux points au hasard sur la sphère ils définissent un équateur.
Pour que le triangle soit acutangle le troisième point doit être dans le fuseau défini par les méridiens passant par ces deux points et à l'extérieur de la calotte sphérique de « diamètre » ces deux points.
Si \theta est la distance angulaire entre ces deux points l'aire de cette partie de la sphère est .
La proba pour que le triangle soit acutangle est alors
La densité de la v.a. donnant est
On calcule

"l'extérieur de la calotte sphérique"
C'est faux, verdurin ; tu penses triangle plat.
Si tu avais joué avec l'appliquette GeoGebra que j'ai mise en lien, tu aurais vu que dans la projection stéréographique une des fontières du domaine autorisé est une conchoïde, pas une droite ni un cercle.

Bien joué GBZM pour le triangle plat,

Allez tentons ton histoire de triangle sphérique, notons , et les angles sous-tendus au centre de la sphère ; , et les angles du triangle voir les notations de wikipedia
Les densités de distributions sont respectivement et de manière indépendante pour les arcs et pour l'angle
Le triangle est actuangle si , et

Dans le lien précédent, on trouve 2 égalités qui vont me servir :
(1) donc puis .
On trouve de manière similaire que   et
(2) donc entraine puis .
On trouve de manière similaire que

Bilan on a la densité de distributions et l'encadrement avec et

On se débrouille pour encadrer et en intégrant d'abord par rapport à on trouve






PS : Il ne faut pas le dire mais j'ai triché pour faire les calculs de l'intégrale

On ne change pas une thématique qui plait, en 1883, la Sociéte Mathématiques de France a publié une solution au problème suivant :
On choisit au hasard un point M à l'intérieur d'un triangle équilatéral ABC, quelle est la probabilité que le triangle formé avec les droites (AM), (BM), et (CM) soit acutangle ?

Edit : je me rends compte que la formulation de l'époque n'est pas très claire et d'ailleurs je l'avais mal comprise, il faut comprendre les distances AM, BM et CM

Bonjour je m'etais trompé dans ma réponse à la premiere question
la voici rectifiée avec  un programme de type vba excel

Sub proba_acutangle()
Dim corde1, corde2, corde3, p, q, r As Double
Dim k As Long
Randomize

rayon = 1

e = 0

Do
e = e + 1
'choix des points angulaires :
p = Rnd * (2 * WorksheetFunction.pi)
q = Rnd * (2 * WorksheetFunction.pi)
r = Rnd * (2 * WorksheetFunction.pi)
angle1 = Application.Max(p, q) - Application.min(p, q)
angle2 = Application.Max(p, r) - Application.min(p, r)
angle3 = Application.Max(q, r) - Application.min(q, r)

corde1 = 2 * rayon * Sin(angle1 / 2)
corde2 = 2 * rayon * Sin(angle2 / 2)
corde3 = 2 * rayon * Sin(angle3 / 2)

  
   If (corde1 < corde2 + corde3) And (corde2 < corde1 + corde3) And (corde3 < corde1 + corde2) Then
  
    
     alpha = (WorksheetFunction.Acos((corde1 ^ 2 + corde2 ^ 2 - corde3 ^ 2) / (2 * corde1 * corde2))) * 180 / WorksheetFunction.pi
     beta = (WorksheetFunction.Acos((corde1 ^ 2 + corde3 ^ 2 - corde2 ^ 2) / (2 * corde1 * corde3))) * 180 / WorksheetFunction.pi
     Gamma = (WorksheetFunction.Acos((corde2 ^ 2 + corde3 ^ 2 - corde1 ^ 2) / (2 * corde2 * corde3))) * 180 / WorksheetFunction.pi
        If alpha < 90 And beta < 90 And Gamma < 90 Then
          k = k + 1
        End If
        
  End If
Loop Until e = 100000  'essais
MsgBox k / e  '---> retourne 0,25 comme proba
End Sub