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Probabilités et système complet d'événements

Posté par
hdci 01-05-23 à 13:29

Bonjour,
J'ai une question portant sur la définition d'un "système complet d'événements" en probabilité.

Je trouve souvent (sur le net par exemple, mais également en lien avec une question posée dans le concours "Advance") la définition suivante :
C'est une famille (A_i) telle que :
1) \bigcup {A_i}=\Omega,
2) \forall i\neq j, A_i\cap A_j=\emptyset

(C'est-à-dire, en fait, une simple partition de \Omega)

Pourtant il me semble que c'est insuffisant, il me semble qu'il manque le fait que les événements ne soient pas impossibles :

3) \forall i, P(A_i)\neq 0

En effet, la plupart du temps (du moins en 1ère/Terminale) on utilise le système complet dans le cadre de la formule des probabilités totales ; lorsque cette formule se fait avec les intersections, pas de problème, mais si on l'utilise avec les probas conditionnelles, le point 3) est indispensable.

Qu'en pensez-vous ? Quelle est la "définition" officielle finalement ?

Posté par
carpediemre : Probabilités et système complet d'événements 01-05-23 à 14:40

salut

je ne pense pas que ça intervienne dans la formule des probabilités totales puisqu'il n'y a pas de division :

P(B) = \sum_1^n P(B \cap A_i) = \sum_1^n P_{A_i} (B) P(A_i)

mais ça intervient dans la définition de la probabilité conditionnelle puisque P_A}(B) = \dfrac {P(B \cap A)} {P(A)}   qui impose que P(A) ne soit pas nul

mais tant qu'on ne parle que de partition de l'univers on peut très bien ne pas s'interdire d'avoir un événement impossible ... qu'il faudra bien sûr faire "disparaitre" dès qu'on parle de probabilité conditionnelle

et bien entendu quand on écrit une formule c'est toujours sous réserve de son existence donc avec les conditions adéquates permettant de l'écrire ...


ton pb me semble bien mineur (même s'il a son importance) quand je vois mes élèves écrire allègrement des \dfrac 2 0   sans que ça ne les gène en quoi que ce soit !!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités et système complet d'événements 02-05-23 à 07:53

Bonjour,
Une remarque :

Citation :
C'est-à-dire, en fait, une simple partition de \Omega
Pour une partition, les sous ensembles doivent être non vides.

Posté par
hdcire : Probabilités et système complet d'événements 02-05-23 à 23:15

Bonjour,
Merci pour vos réponses.

@Carpediem, sur l'aspect bien mineur", j'ai eu également (en STI2D il est vrai) un "36\times 0=36" mais ça m'arrive bien plus rarement en spécialité (heureusement !)

carpediem @ 01-05-2023 à 14:40


je ne pense pas que ça intervienne dans la formule des probabilités totales puisqu'il n'y a pas de division :

P(B) = \sum_1^n P(B \cap A_i) = \sum_1^n P_{A_i} (B) P(A_i)


Ben en fait avec la seconde somme, il y a proba conditionnelle donc division... ce qui n'est donc possible que si les événements ne sont pas impossibles.

C'est vrai que "en général", en première / terminale on ne fait que du discret et que des événements impossibles (sauf le vide) sont très rarement rencontrés.

@Sylvieg :
Sylvieg @ 02-05-2023 à 07:53

Pour une partition, les sous ensembles doivent être non vides.

D'accord également (donc  l'énoncé dudit concours comporte une seconde erreur ou omission...) ; même si cela réduit considérablement les possibilités d'événements impossibles au niveau 1ère / Terminale (puisque désormais on n'y fait que des probas sur un univers fini).


Mais du coup, pour le système complet, quel est l'énoncé "officiel" qu'il faut enseigner au lycée, selon vous ? (Je pose la question en parallèle à mon inspecteur, j'y apporterai sa réponse ici).

Posté par
verdurinre : Probabilités et système complet d'événements 03-05-23 à 19:05

Bonsoir,
la remarque de Wikipédia sur P(B\vert A_i) P(A_i) me semble intéressante.

Posté par
hdcire : Probabilités et système complet d'événements 04-05-23 à 08:47

Bonjour Verdurin,
C'est effectivement une alternative à la définition.

Mais à nouveau, je reviens sur ma question, y a-t-il un consensus sur la définition du système complet ? Un correcteur du concours Advance m'a répondu en disant "définition largement répandue", certes ; mais dans son poly "Probabilités" du CNED pour le Capes de maths (document que j'ai eu en 2016), Luc Tiennot donne pour définition du système complet "toute famille dénombrable d'événements [de la tribu] non impossibles deux à deux incompatibles et dont la réunion est Omega"

Le problème n'est pas tant la définition elle-même (qu'on prenne la moins stricte en précisant dans le cas des probas conditionnelles comme sur Wikipedia, ou la plus stricte comme dans le poly cité en référence, cela ne change pas grand chose tant qu'on précise bien le contexte), mais le fait que dans un concours, un étudiant se base sur l'une des définitions et le correcteur utilise l'autre pour sa notation (surtout si on est dans un QCM dans lequel il n'y a que des cases à cocher)...?

Posté par
carpediemre : Probabilités et système complet d'événements 04-05-23 à 09:34

merci à verdurin qui permet de montrer que ça rejoint ce que je disais ...

quelle que soit la définition utilisée l'important ne sera pas qu'il y ait un événement impossible dans la partition mais de savoir utiliser cette formule des proba totales et en indiquant que le produit P_{A_i}(B) P(A_i) est nul

Posté par
hdcire : Probabilités et système complet d'événements 10-05-23 à 20:54

Bonjour à tous,

Mon inspecteur m'a répondu ; sans être une réponse "définitive", elle m'indique qu'en 2013, dans le programme des ECS (classes prépa commerce), la définition est clairement indiquée comme étant "une famille de parties disjointe 2 à 2 et dont la réunion fait le tout".

Bref, c'est cette dernière définition qu'il vaut mieux utiliser, quitte à renforcer la condition dans la formule des probas totales avec probas conditionnelles, ou d'utiliser la remarque de Wikipedia (merci Verdurin).

Merci à tous pour votre participation


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