Bonjour,

Cet exo n'est pas trop de ton niveau si tu es en 3ème (encore que tu as le cas le plus facile à voir intuitivement). Avant de t'aider, tu dois faire ça dans quel cadre ? Suivant ta réponse, je verrais comment t'amener ça. Pour info, l

la probabilité est nulle pour 10 pas et 100/1024 pour 12 pas.

PS : J'ai fait le calcul de tête pour le second donc, il peut y avoir une faute de calcul. Mais j'attends ta réponse pour développer.

Bonsoir Boltzmann_Solver

c'est vrai que ça n'est pas de mon niveau, mais j'ai vu aussi (si je ne me trompe pas), qu'en 10 pas, il

ne reviendra pas au point de départ, par contre en 12 pas il y revient, mais je ne sais pas comment faire

pour trouver les différentes solutions.

Tu n'es pas obligé de me répondre

Merci

Bonsoir lievre,

En effet, rien ne m'oblige mais si je ne voulais pas, je n'aurai pas commencé. Donc, je repose ma question, pourquoi fais tu cet exo et ou (cours d'été, préparation pour des concours de lycée...) ? Suivant ta réponse, ma façon de répondre variera.

A toute suite pour la réponse.

Et bien, tu ne me connais pas, ça se voit, je suis curieuse et avide de tout.

Alors ma réponse ? Par curiosité voilà

1024 = 4⁵ , mais pourquoi donc 100/1024 ?

Merci

Disons que je sais que tu es active. Bon, apparemment tu tiens à ta réponse (pourrais tu me donner le lien de l'exo si tu l'as trouvé sur le net).

Version, courte et incompréhensible à ton niveau. Je fais ça pour te faire peur :p. Mon second post sera plus facile.

Les déplacements (avant/arrière et gauche/droite) constituent deux expériences aléatoires indépendantes. Posons la coordonnée de la première direction Xn et Yn pour le seconde direction au nième déplacement avec Xo=Yo=0. Puisque les expériences sont indépendantes, P(Xn=0 n Yn=0) (cad, la probabilité que l'ivrogne soit resté immobile) = P(Xn=0)*P(Yn=0).

Déjà, on remarque que Xn et Yn suivent la même loi de probabilité (même règle). Ensuite, toujours par les règles, la personne ne peut que faire +1 ou -1. Donc, pour que la personne soit resté immobile suivant l'une des coordonnées, il faut qu'il y ait une nombre pair de déplacement car pour 2n déplacement 0 = n((+1) + (-1))).

Donc, pour tout n entier, P(X2n+1 = 0) = 0 et P(X2n) non nul.

Là, il nous faut déterminer la loi de probabilité de X2n (2n déplacements) et deux choix s'offrent à nous. La première est d'utiliser le fait que pour 2n déplacements, on ait forcement n*(+1) + n*(-1). Donc, le nombre de façon d'obtenir ce nombre est celui du nombre de permutation de n +1 et n -1. Ce nombre est (2n)!/(n!*n!). Et le nombre de cas possibles est 2^(2n) (arbre classique). Donc, P(X2n=0) = (2n)!/(n!*n!*2^(2n))

La seconde est de reconnaitre une loi binomiale. En effet, ainsi, on peut écrire que P(X2n=k) = C_{2n}^{k+n)*0.5^(k+n)*0.5^(2n-(n+k)) = C_{2n}^{k+n)*0.5^(2n). Donc, P(X2n=0) = C_{2n}^n*0.5^(2n) = (2n)!/(n!*n!*2^(2n)).

Il nous reste à faire les calculs pour l'événement Z2n : "Revenue à la position initiale". On remarque pour qu'il soit immobile, il faut qu'on ait Xn=0 et Yn=0 (la moitié des pas vont dans la première direction et l'autre moitié dans l'autre). P(Z2n) = P(Xn=0 n Yn=0) = P(Xn=0)*P(Yn=0).

Pour 2n = 10 pas, n=5. Donc, P(Z10) = P(X5=0)*P(Y5=0). Or, 5 est impair, donc, les probabilités sont nulles. P(Z10) = 0*0 = 0.
Pour 2n = 12 pas, n=6. Donc, P(Z12) = P(X6=0)*P(Y6=0) = P(X2*3=0)*P(Y2*3=0) = (6!/(3!²*2^6)² = (120/(6*2^6))² = (10/2^5)² = 100/1024.

La seconde méthode un peu plus à ta hauteur arrive.

BS

Waouh ! En effet, très compliqué

Comme je te l'ai dit, j'ai fait ça pour te faire peur.

La méthode pour la seconde est de faire un arbre de probabilité. Mais c'est chiant à dessiner (plus facile de taper des équations). Et surtout, pour 256 pas, ça ne marche pas.

Mais promis, je ferai ça dans la soirée (sauf si une âme charitable s'y colle).

Voili.

Je te remercie Boltzmann_Solver (c'est vrai que tu m'as fait peur là)

C'est sympa de ta part de me montrer

Bonjour
Problème intéressant

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Si on appelle tribulation l'ensemble des 3 pas on constate:
1/à la première 8 possibilités  dont aucune vers le point
de départ et 4 vers les 4 points cardinaux.
2/donc à la seconde sur les 32 seulement 8 possibilités de
revenir au point de départ et 8 de s'éloigner d'un pas de la première zone
3/sur les tribulations impaires l'ivrogne s'éloigne d'un pas et ne revient jamais
4/sur les paires il peut retomber sur la phase 2
5/je dirai donc 4/16 ,4/36 4/ 4/64 4 /100 pour 10 et on ajoute 4/ 144 pour 12

Bonjour

> lièvre59

Avant d'essayer de généraliser on peut essayer d'examiner les cas 10 pas et 12 pas.

Voici un manière de voir la chose. On imagine un repère classique et l'ivrogne est au début de l'histoire à l'origine du repère.

Il se déplace d'abord "verticalement" d'une unité vers le haut ou vers le bas, puis "horizontalement" d'une unité vers la droite ou vers la gauche (1 pas = 1 unité). Il reconduit ensuite cette procédure.

- Il ne peut pas revenir à sa position initiale au bout de 10 pas, puisque par exemple l'abscisse finale devrait être 0 et qu'il fait horizontalement un nombre impair de pas (5).

- Pour 12 pas :

Tu peux d'abord imaginer un arbre illustrant les pas horizontaux autrement dit les abscisses (six pas : les pas 2, 4, 6, 8, 10, 12).

La symétrie évidente permet de ne considérer dans un premier temps que le cas "pas 2 = +1" (il fait un pas vers la droite).
Tu obtiens alors un arbre avec 32 branches finales (un peu long, mais ça peut se dessiner), dont 10 conduisent à un abscisse finale nulle.

On en aurait autant pour l'autre partie de l'arbre ("pas 2 = -1")

Puisqu'à chaque fois, il a autant de chances de faire un pas en avant qu'un pas en arrière, on peut donc dire que la probabilité que l'abscisse finale soit nulle est 20/64 = 5/16

On conduit le même "raisonnement" pour les ordonnées, et on obtient le même résultat.

L'ivrogne revient à sa position initiale ssi l'abscisse finale et l'ordonnée finales sont nulles ; ces deux événements étant indépendants la probabilité cherchée est donc le produit de ces deux probabilités.

Conclusion : Pour 12 pas, p = (5/16)² = 25/256

Vérifie !! (j'ai pu me fourvoyer ...)

Et éventuellement essaie de formaliser pour obtenir une formule générale, mais comme l'a dit Boltzmann_Solver, c'est plus compliqué.

Bonjour dpi j'ai pas bien compris ta dernière ligne

bonjour littleguy

> littleguy , j'étudie ce que tu as fait, si je ne comprends pas, je reviendrais

En attendant, merci

Bonsoir à tous,

Je dois bien avouer que je ne comprends pas les arguments de dpi.
Ce que je comptais te montrer, c'est ce que littleguy a fait mais l'arbre est vraiment trop grand (sachant que vu ta classe, les arguments de symétrie ne sont pas prouvés à ton niveau à part de manière empirique) et ne rentre pas sur l'ile (64 entrées sans la symétrie). Mais je pense que ça peut faire un bon baptême du feu pour toi. Si tu arrives à faire cet arbre. Ceux de seconde te sembleront triviaux.

Désolé pour hier mais l'image est trop grosse pour le site.
BS

Voila le fichier dont je parlais (l'arbre)

Je les poste quand même et si la modération peut les faire rentrer dans le site sans dégrader l'image, je suis preneur.

http://www.cijoint.fr/cjlink.php?file=cj201007/cijEvgqdwF.pdf
et
http://www.cijoint.fr/cjlink.php?file=cj201007/cijjI5pQxs.png

Et on retrouve bien que pour 10 pas (x=5), il n'y aucune solution et pour 12 pas (x=6), on a une probabilité P(X6=0) = 20/64 = 10/32 = 5/16.

Voilou.

Bonsoir,

Bonsoir Boltzmann_Solver

Impressionnant merci à toi
C'est pas si facile que ça (je l'ai imprimé, mais je n'ai pas su le voir en grand sur une seule page bien sûr, je vais le faire agrandir sur feuille A3)

Bonsoir Daniel

merci je regarde tout ça à tête reposée

Merci, merci

Bonsoir Louisa (enfin, tout le monde t'appelle ainsi. Donc, je me plie^^),

Je te préviens tout de suite, c'est format DIN A0 pour la longueur de la feuille (j'ai coupé la largeur inutile par auto-crop). Donc, pour l'impression ça me semble difficile.

Mais si tu as compris la méthode, tu seras la championne en proba l'année prochaine (j'ai déjà aidé des secondes sur la planche de Galton qui est une autre formulation de ton exercice).

Voilou.
BS

Je te remercie infiniment Boltzmann_Solver

A0 , je vais alors sûrement le refaire sur une grande à dessin, j'y tiens

* grande feuille à dessin

Bon courage alors^^. Moi, ça m'a bien pris la tête à coder (vive pstricks et la symétrie des C(n,k) pour modérer ma peine).

Et c'est bien pour cela que je te remercie de tout mon coeur

Ce fut un plaisir. Je me suis bien amusé à monter la loi binomiale à une troisième (heureusement que je ne suis pas prof).

Plus je regarde ce problème plus je le trouve compliqué
J'ai retenu les points suivants:
* pour chaque position 8 mouvements possibles
* dans les titubations impaires on ne pouvait pas revenir au point de départ
* exemple les premières 8 donnent 4 points éloignés de  1 pas
* dans la deuxième série sur 4 x 8 = 32 possibilités  1/4 (soit 8 sur 4 points) ramènent à ce point et
3/4  s'écartent soit 24 possibilités en amenant à 12 nouveaux points
* dans la troisième sur ces 12 x 8 =96 possibilités dont aucune ne peut ramener au point de départ mais 4  positions identiques à la série de départ  donneront une possibilités à la 4éme  série (identique à la deuxième).
*j'espère une solution lumineuse

Bonjour,

dpi >>

(re)Bonjour Daniel62

Pour que soit clair pour les tout-jeunes, est souvent également noté

je sais bien littleguy

mais par facilité écrire C(4,2) est plus rapide que

Je sais bien que tu sais bien Daniel62, c'était juste une clarification pour quelques lecteurs (peut-être inutile, mais bon "ça ne mange pas de pain")

je viens de voir qu'il manque quelque chose à la fin de mon message de 11:43

  pour 12 pas --> 2¹² = 4096 possibilités

Bonsoir à tous

je vois que ça fait bouger du monde ce genre d'exercice, mais il faut vraiment que je regarde tranquillement les réponses, pour pouvoir ensuite refaire sans regarder

Bon week-end

Bonsoir Louisa

Bon week-end à toi aussi

et un grand pour ta mention

Bonsoir Daniel

Merci

Bonjour.
Pour revenir à son point de départ, il faut autant de pas en avant que de pas en arrière et autant de pas à gauche que de pas à droite.

Avec dix pas, il y a cinq pas en avant et en arrière; le retour au point de départ est impossible, car cela impliquerait deux pas et demi en avant et deux pas et demi en arrière.

Avec douze pas, il y a six pas en avant et en arrière et six pas à gauche et à droite.
Pour revenir à son point de départ, l'ivrogne doit effectuer trois pas en avant, trois pas en arrière, trois pas à gauche et trois pas à droite, peu importe l'ordre.
Nombre de successions possibles pour les pas en avant et en arrière : 2⁶.
Nombre de successions comportant exactement trois pas en avant :
il y a six choix pour la position du premier pas, cinq restants pour celle du deuxième, quatre restants pour celle du troisième : 6*5*4 = 120
cependant, les six choix qui comportent les mêmes positions ne comptent en fait que pour une succession; par exemple, si on désigne par A, B, C, D, E, F les pas dans l'ordre avant et arrière, les choix ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA sont équivalents
il y a donc 120/6 = 20 successions comportant exactement trois pas en avant et trois pas en arrière; la probabilité d'une telle succession est 20/64.
De même, la probabilité d'avoir exactement trois pas à gauche et trois pas à droite est 20/64.
La probabilité qu'il se retrouve au point de départ est 20/64 * 20/64 = 400/4096.

Qui a dit "lumineux" ?
Merci
Simplement pour rester dans les définitions il faut dire titubation (formée de 3 pas)
pour ne pas créer de confusion.

Bonsoir

c'est super toutes ces explications, merci aussi Plumemeteore, avec le superbe arbre de Boltzmann_Solver ainsi que vos explications ça m'aide énormément à comprendre, même si c'est pas encore le top

littleguy

quelle est la différence entre :

et

merci

Bonsoir louisa,

C'est la même chose. C'est le coefficient binomiale ou le terme combinatoire. Et il vaut n!/(p!*(n-p)!) avec n! = 1*2*3*4*...*n-1*n.

Il faut bien comprendre que cet objet, tu ne le découvriras qu'en terminale et que la seule façon de la faire à ton niveau, c'est l'arbre de fou.

Have fun.

Bonjour Louisa :

c'est la même chose.
Mais la connotation est différente.

Bonsoir Boltzmann_Solver et borneo

merci

Il est super ton arbre Boltzmann_Solver, je te remercie

S'il t'a servi à comprendre, c'est l'essentiel.

Je me joins aux autres pour te féliciter pour ta mention vu que j'en ai l'occasion.

Merci, c'est gentil