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Probas : hérédité de l'espérance

Posté par
Alishisap 28-07-18 à 10:22

Bonjour à tous,

on considère deux dés équilibrés. On les lance en un jet, et on multiplie les chiffres obtenus. Soit X la variable aléatoire associée au score obtenu à l'issue de ce lancer. J'ai déjà montré que $E(X)=12.25$ exactement.
Maintenant on relance les dés, et on ajoute le nouveau produit obtenu à celui obtenu au premier jet. On recommence ainsi jusqu'à atteindre au moins 100.

Instinctivement, je me suis dit que si au premier jet l'espérance est de 12.25, alors cela signifie qu'à l'issue du second jet, on peut espérer obtenir un score total de $2E(X)=24.5$ . Et que de même, à l'issue de n jets on peut espérer obtenir un score total de $nE(X)$ . Donc, pour savoir, en moyenne, en combien de coups on peut espérer finir ce petit jeu, il faudrait résoudre $nE(X)=100$ et donc en moyenne on pourrait espérer finir le jeu en $\dfrac{100}{E(X)}\sim 8.16$ coups.

Oui mais (vous avez noté le conditionnel) ça ne colle pas : en faisant jouer à l'ordinateur 10 millions de parties, la moyenne du nombre de coups pour finir les parties est stable à $8.89$ ce qui est trop éloigné de $8.16$ pour que cela soit cohérent.

Donc je me suis dit que cette hypothèse :

Citation :
à l'issue de n jets on peut espérer obtenir un score total de $nE(X)$

doit être fausse, car tout le raisonnement tient sur ça. Seulement voilà, j'ai cherché plein de contre-exemples sur des expériences plus simples avec moins d'issues possibles, et je ne suis jamais parvenu à réfuter cette hypothèse. Je suis pourtant persuadé qu'elle est fausse.

Pouvez-vous m'aider à trouver un contre-exemple simple ?

Posté par re : Probas : hérédité de l'espérance 28-07-18 à 13:51

salut

oui ton raisonnement faux ...

Citation :
On recommence ainsi jusqu'à atteindre au moins 100

donc on peut avoir une approximation du nombre moyen n de lancers qui soit en fait un minorant : $n \ge \dfrac {100} {E(X)}$

tu peux remarquer que : si tu obtiens 1 aux deux dés et donc le produit est 1 et que tu obtiens cela à chaque lancer il te faut 100 lancers ... mais quelle est sa probabilité ?

très faible effectivement tout comme de réussir en trois lancers en obtenant un double 6

une façon exacte (je ne vois rien d'autre pour l'instant) serait de lister tous les produits et leur probabilité puis ensuite de répondre à la question :

quelle est la probabilité de réussir en trois coups ? en quatre coups ? ... en 100 coups ?

et de calculer l'espérance ...

Posté par re : Probas : hérédité de l'espérance 28-07-18 à 14:04

tu peux aussi remarquer que la probabilité que le produit soit supérieur (ou égal) à 20 est 8/36 = 2/9

et puisque les lancers sont indépendants la probabilité de réussir en moins de 5 coups est
(2/9)^5

et la probabilité d'obtenir moins (ou égal à) de 10 est 19/36 et la probabilité de réussir en plus de 10 coups est (19/36)^10

ouais .. peut-être bof ...

je dirais plutôt que n vairant de 3 à 100 (avec éventuellement des trous) 100 est plus loin de 8 (ou 9) que 3 !!!

Posté par re : Probas : hérédité de l'espérance 28-07-18 à 14:17

Citation :
une façon exacte (je ne vois rien d'autre pour l'instant) serait de lister tous les produits et leur probabilité puis ensuite de répondre à la question :

Ce qui effectivement serait bien lourd.

Merci, je crois que je comprends mieux.

Je vais méditer.

Pour info, j'ai déterminé que la proba de finir en 3 coups est de 7/46656 soit environ 150 chances sur un million... La proba de finir en 100 coups est de l'ordre de $10^{-156}$

Posté par re : Probas : hérédité de l'espérance 28-07-18 à 14:41

peut-être ...

Posté par re : Probas : hérédité de l'espérance 28-07-18 à 14:42

PS : j'ai peut-être oublié des coefficients binomiaux dans mes calculs précédents ...