Bonjour,

tu as la rponse sur le site :

https://www.ilemaths.net/sujet-probleme-second-degre-armee-vitesse-messager-et-distance-153535.html

Bon courage pour le refaire !!

Bonjour loscforever,

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Je vais donc reprendre les explications en plus clair (j'espère!)

Soient
a  la vitesse de l'armée,
b  la vitesse du cavalier,
t  le temps mis par le cavalier pour arriver au début de l'armée,
t' le temps mis par le cavalier pour rejoindre l'arrière-garde.

A l'aller, le cavalier se déplace de b*t, cad de la longueur de l'armée augmentée du déplacement de la tête de l'armée pendant ce temps a*t => b*t=50+a*t (1).
Au retour, le cavalier se déplace de b*t' cad de la longueur de l'armée diminuée du déplacement de l'arrière-garde pendant ce temps a*t' =>b*t'=50-a*t' (2).
Pendant le temps de l'aller et du retour(t+t'), l'armée s'est déplacée de 50=>a*(t+t')=50 (3)

On remplace 50 de (3) dans (1)et (2):
(1) et (3)=> b*t= a*t+a*t'+a*t  (4)
(2) et (3)=> b*t'=a*t+a*t'-a*t' (5)

(5)=> b*t'=a*t=>b*t=a*t*t/t' =>b*t=a*t²/t' (6)
(4)=>b*t=2a*t+a*t' (7)
(7) et (6)=>  a*t² /t'=2a*t+a*t'=>t²/t'=2t+t'=>(t/t')²=2t/t'+1
On pose x=t/t' et on obtient une équation du second degré:
x²-2x-1=0 dont les racines sont 1+V2 et 1-V2 (qui est à rejeter car négatif)

(5)=> b/a=t/t'=1+V2
b*(t+t')=a*(t+t')*b/a=50*(1+V2)~=120,71067... (km)

Bonsoir Loscforever.

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Soit r le rapport de la vitesse du messager sur celle de l'armée.
On prend comme unité de temps la durée totale de l'opération.
A l'aller, la vitesse relative du messager par rapport à l'armée est r-1; le temps étant inversément proportionnel à la vitesse, le messager parcourt l'aller (50 km relativement à l'armée) en 1/(r-1) unité de temps.
Au retour, le messager met 1/(r+1) unité de temps.
1/(r-1) + 1/(r+1) = 1
[(r+1)+(r-1)]/[(r-1)(r+1)] = 1
2r = r²-1
r²-2r-1 = 0
r = 1(1+1)
r = 1+2 = 2,414
Le messager aura parcouru 102,7 km.

Bonsoir et merci de m'avoir répondu !

Calyus, je ne comprend pas à quoi corresponde le " => " , à un " donc " ?
De ce fait je n'ai pas compris cette ligne la :

Bonjour,
Fidèle à mon habitude,j'ai fait un modèle sur mon tableur:

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1/le messager part de l'arrière de l'armée et doit donc parcourir 50 km de plus que l'avant de l'armée pour le contacter.
2/l'armée parcours en tout 50 km donc si on appelle a la distance entre l'arrivée et le point de rencontre on a 50-a pour la distance entre ce point et l'arrière
3/ il faut donc que a/50-a = 50+50-a/50-a
sur tableur en simulant a entre 0 et 50 on trouve 2.414 soit une distance de  120.7 km

Bonjour,

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Citation :

l'armée avance à une vitesse constante
un messager part de l'arrière-garde de l'armée
Il arrive à l'arrière garde exactement au moment ou l'armée a parcouru 50 km

Citation :
Soient
t  le temps mis par le cavalier pour arriver au début de l'armée,
t' le temps mis par le cavalier pour rejoindre l'arrière-garde.

Pour un mouvement rectiligne uniforme, distance parcourue=vitesse*temps mis pour la parcourir.
Donc 50=a*(t+t')

Bonjour,
Pour moi le cavalier aura parcouru exactement 100 Km.
Si l'armée a avancé de 25 km pendant l'aller du cavalier celui ci aura parcouru 75 km.
Il lui reste au retour 25 km à parcourir.(50 -25)
Si l'armée a avancé de 30 km pendant l'aller du cavalier celui ci aura parcouru 80 km.
Il lui reste au retour 20 km à parcourir.(50-30)

Merci Albertus et Dpi pour vos réponses .

Caylus , comment as-tu trouvé ceci :

Je ne comprend pas également la fin Caylus

b*t'=a*t=>b*t=a*t*t/t' =>b*t=a*t²/t' (6)
En effet:
de bt'=at on tire b=at/t' donc b*t=at/t'*t=at²/t'

b*t=2a*t+a*t' (7)
b*t=a*t²/t' (6)    => at²/t'=2at+at' On divise par t'<>0
=> at²/t'²=2at/t'+at'/t'=> a(t/t')²=2a(t/t')+a
On simplifie par a (non nul!) et on poser x=t/t'=>x²=2x+1 =>x²-2x-1=0
Pour les racines ça va ? 1+V2

a*(t+t')=50 (3) => t+t'=50/a=> b*(t+t')=(50/a)*b or b/a=t/t' (car  bt'=at)
=>b(t+t')=50*(1+V2)=120,7...

Je n'arrive pas à accrocher !
Merci beaucoup pour tes explications Caylus , mais rien n'y fait , je ne comprends pas

En revanche , j'ai utilisé la méthode de Plumemeteore qui me semble + simple et que je comprend mieux ( même si je ne doute absolument pas de ta méthode Caylus !! )

Donc dans les 2 cas on trouve 2,414, mais à partir de la , comment trouver 120,7 km ? En utilisant v = d/t
                                                                                                   2,414 = d/t
?

Je viens de refaire ta méthode Caylus , car j'aimerais bien comprendre quand même , d'apres ce que j'ai compris ,
pour trouver bt=at/t'*t , il faut multiplier b=at/t' par t ?

Ensuite tout va bien jusqu'au racine , j'ai du mal à trouver ...

Heureusement que je n'enseigne plus!
Bonne nuit.

Merci pour tout !!
Bonne nuit

Bonsoir loscforever

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soit x la vitesse du messager, et y la vitesse de la troupe

on a forcément x > y

temps mis par le messager à l'aller (les vitesse se retranchent):

  

temps mis par le messager au retour (les vitesses s'ajoutent):

  

temps total = temps mis par la troupe pour parcourir 50 km:

  

on réduit au même dénominateur:

  

on simplifie:

  

on développe:

  

  

  

on résout:

  

  

  

  

on ne garde que la racine positive puisque x et y sont des vitesses:

  

pendant le temps total t1+t2 soit 50/y, le messager a parcouru à la visesse x:

  

  

Bonsoir Daniel62,

merci beaucoup pour ces explications !!

il y a juste quelquechose que je ne comprend pas , que signigie , et pourquoi l'on divise par 2 ?

loscforever >>

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le discriminant c'est pour résoudre une équation

du second degré, donc de la forme ax² + bx + c = 0

  x² - 2xy - y² = 0  (avec a=1,b=-2y et c=-y²)

= b² - 4ac = (-2y)² - 4*1*(-y²) = 4y² + 4y² = 8y²


mais on peut aussi utiliser la forme canonique:

   en remarquant que :  x² - 2xy = (x-y)² - y²

   d'où:

   (x-y)² - 2y² = 0

   différence de 2 carrés:

   (x-y)² - (2y)² = 0

   (x-y+2y)(x-y-2y) = 0

    x₁ = y - 2y = y(1 - 2)

    x₂ = y + 2y = y(1 + 2)

D'accord !

Un grand merci !!