salut nonoparadox

desole j ai pas l'idee miracle...mais je cherche avec le theoreme de l'angle inscrit qui te dit donc que APB=constante pour tout P sur (C)

si tu as trouve n'hesite pas

bonjour ,
je viens de me pencher sur ton problème, qui est assez sympa

je ne vais pas te faire le coup de te donner des indications vu ton niveau (qui est le même que le mien en public )

voilà mon raisonnement:
l'aire de ABP pourtout P du cercle est égale à où H est le projeté de P sur [AB]
donc trouver le maximum de cela, c'est trouver le maximum de PH
jusque là, pas de problème.

maintenant, je vais prendre le point P du cercle appartenant à la médiatrice de [AB] (le point qui va nous conduire à la solution d'après l'énoncé )
je note H son projeté
ensuite je prend un point Q appartenant au demi plan de frontière la médiatrice de [AB] et contenant le point A (remarque: on aura un problème similaire si on considère l'autre demi plan)
ce point appartient aussi au cerle
je note H' son projeté

donc il nous reste à montrer que QH' < PH
pour cela, j'ai pris d'autre points:
soit P' le point d'intersection de (PH) avec le cercle
et
Q'le point d'intersection de (QH') avec le cercle
[QQ'] étant une corde et [PP'] est diamètre, on a:
QQ' < PP'

d'autre part, (PP') et (QQ') sont parallèles (car perpendiculaires à (AB))
leurs médiatrices sont parallèles et comme OP=OP' et OQ=OQ'
elles sont confondues.
je note I le milieu de [QQ']
on a donc OH=IH'
et IQ < OP
on a donc QH' < PH
si je ne commets pas d'erreur du au dessin de ma feuille.

voilà
cela te convient

coucou cqfd67,
j'avais aussi pensé au théorème de l'angle inscrit, mais cela m'a rien donnée

salut muriel,

je vais etudier ta solution en detail...car avec" mon "angle inscrit j ai pas abouti

salut,

A et B sont fixes, et P est mobile sur le cercle, c'est ça ?

Sur mon dessin, j'ai tracé la parallèle à (AB) passant par P ; elle coupe la médiatrice de [AB] en H. La médiatrice de [AB] coupe le cercle en C et C' (que j'ai oublié de placer).

L'aire du triangle ABP est

L'aire de ABP sera maximale lorsque HI sera maximal.

Voici l'idée que j'ai eue:
Sur le dessin on "voit" que HI est maximale lorsque H est en C (sur une autre configuration il se pourrait que ce soit en C').
Lorsque H est en C, le point P est aussi en C.
Donc P est sur la médiatrice de [AB].
Donc ABP est isocèle.

Il reste maintenant à le démontrer rigoureusement.

Bye.

chapeau bas muriel!

merci cqfd67 (j'adore la géométrie )

pour danskala,
c'est là où j'arrive, car justement on demande une démonstration rigoureuse: pourquoi HI < IC ?
c'est jsutement là que ce situe le problème

au fait cqfd67,
à quel niveau placerais tu cet exercice à ton avis?
(biensûre en donnant des indications )

Bravo Muriel !!!
Bien joué !

Je pense que ta démo est nickel .

Pour ce qui est du niveau de l'exo, toutes les connaissances demandées sont connues au collège (le projeté orthogonal aussi ? ) ... maintenant même des pauvres étudiants de capes n'ont pas réussi à le résoudre !!
Au fait , petite digression: muriel , je vois sur ta fiche : niveau capes ... tu es en prépa capes ou tu as déjà le capes et tu enseignes?

Encore bravo pour la démo !

Vu les outils utilises, je dirais 4eme et toi?
cependant au vu des majoration a effectuer vers la fin je le donnerais (toujours avec indication niveau seconde)

salut Muriel,

dans ton raisonnement, je ne vois pas comment tu déduis que OH=IH' et que IQ<OP d'après ce que tu annonces juste avant.

pour ce qui est du projeté orthogonal, il suffit de remplacer par la définition (et là, c'est du niveau collège )
ensuite, il suffit d'habiller l'exercice, enfin d'aiguiller les élèves et on pourrait, je pense le mettre en 3ème, mais bon, avec de bon élève de 3ème

pour ton indiscrétion:
oui, on peut dire que je suis en prépa CAPES, même si cette année, je n'ai pas payé l'iufm
en fait, c'est la 3ème fois que j'ai passé mon capes (et la 3ème que je suis admissible)
donc je n'ai pas encore le capes, mais j'ai déjà fait des remplacements en collège

je suppose que tu es aussi admissible

Quel est la définition du projeté orthogonal?

Sticky

danskala,
pour OH=IH'
je me suis basée sur le rectangle OHH'I
il l'est car c'est un parallélogramme ayant un angle droit.

ensuite,
IQ < OP

IQ < OQ (inégalité triangulaire)
et OQ=OP

_______________
cqfd,
je n'avais pas vu ton message,
en effet j'avais oublié l'histoire de la majoration, donc 2nde ou 1ère
mais bon, on peut toujours avec de bons élèves comme Nightmare par exemple, leur donner envie de chercher
(mais peut être que Nightmare est l'exeption )

Danskala , on a OH=IH' , car IH'HO est un rectangle.
Et IQ<OP puisque QQ'<PP' et I et O milieux respectifs de [QQ'] et [PP'].

Oui Muriel je suis admissible !

salut

SOit M  un point extérieur à la droite (d). On dit que le point M' de la droite (d) est le projeté orthogonal du point M sur la droite (d) lorsque les droites (MM') et (d) sont perpendiculaires.

ben y aura beaucoup de gens de l'ile a Sceau dans quelque temps.....

bonjour Sticky,
j'entendais par définition de projeté orthogonale
soit une droite (d) et un point M du plan
on appelle projeté orthogonale le point M' appartenant à (d) tel que (MM') est perpendiculaire à (d)

ah ben j'ai répondu à la bourre ! lol

Muriel:

OK, merci,

une autre question, comment montres-tu que QQ'<PP'?

en effet cqfd67
tu passes quand nonoparadox?
moi, le 15 et 16 juillet

ok merci

Sticky

Ah ben cqfd67 t'es aussi en prépa capes ! Ah ben on va faire un club ....

je pense qu'on peut prendre le même raisonnement que celui avec QI et OP
vu que QQ'=2QI
et PP'=2OP

conclusion: il faut placer ce point après avoir dit que les médiatrices étaient confondues

he oui prepa capes aussi
je passe le 4 et 5 juillet

danskala comme PP' est un diametre et que QQ' une corde on a QQ'<PP'

Je passe le 20 juillet moi...

Pour Danskala, QQ'<PP' parce qu'une corde est plus petite qu'un diamètre.

nonoparadox, pourquoi une corde est-elle plus petite qu'un diamètre ?

Danskala, je viens de te l'expliquer
voir message de 22:56

oui, mais nonoparadox semble dire que cela va de soi

C'est une propriété des cercles ...
Le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont la corde est un des côtés, donc la corde est plus courte que le diamètre.

Je me trompe pas , chers collegues ? lol

Tu m'as convaincu !

LOL !
Cool ! Merci ! Ca pourra m'être utile d'être convaincant, quand je serai prof !

Au fait , je vais poster un autre exo sympa ( sympa signifiant que je n'arrive pas à le faire   ) dans un autre topic ... pour les amateurs et amatrices !

Au risque de paraître pénible, comment montreriez-vous q'un cercle et une droite ont au plus deux points d'intersection ?

danskala,
essaies de regarder d'un ppoint de vue analytique, je pense qu'on devrait s'en sortir de ce côté là, mais je t'avoue que je n'ai pas réfléchi à cela

OK pour le côté analytique mais voyez-vous un raisonnement purement géométrique ?

Ah non au contraire, pose , pose , nous ça nous fait réfléchir !!

Analytiquement c'est évident ... Je pense (mais j'ai la flemme de le faire lol) que les deux points viennent des deux racines d'une équation du second degré... l'équation d'un cercle étant du second degré. Un truc comme ça ...

Maintenant purement géométriquement ...euh .... je vais réfléchir ... !

Je pense qu'on peut raisonner comme ça :

Tout point du cercle est équidistant du centre.
Appelons A,B,C les trois supposés points d'intersection .

O est sur la médiatrice de [AB] et sur celle de [AC], puisque équidistant .
Du coup A,B,C étant alignés, les deux médiatrices sont soient parallèles soient confondues. Mais comme elles ont O en commun, elles sont confondues et donc les trois points se résument à deux points.

En gros .....

oui, je crois
soit (d) une droite et (C) un cercle de centre O et de rayon r.
soit H le projeté orthogonal de O sur (d)
nous on veux montrer que si OH < r, alors (d) coupe (C) en deux points seulement.

soit A, B ces deux points.
on a AOB isocèle en O
donc la médiatrice de [AB] passe par O

maintenant prenons un point C tel qu'il appartiennet à (d) et à (C)
tel que C différent de A

on a OC=OA
donc la médiatrice de [AC] passe par O et est perpendiculaire à (d), donc elle est confondue avec la médiatrice de [AB] (axiome d'Euclide)
on arrive ainsi à dire que C=B

je pense que c'est bon

zut en retard, grrrrrrrr

au fait, pour une fois que je peux faire une remarque sur l'orthographe:
les deux médiatrices sont soient parallèles soient confondues
le soit ici est un adverbe, donc il est invariable (c'est le même soit que celui qui permet de définir les choses )

OK vous m'avez convaincu pour le "au plus 2 points d'intersection".
Mais pourquoi une droite peut-elle couper un cercle en deux points?

MDR !!! Je suis vraiment fatigué, moi ....

Euh ... tout point de la médiatrice de [AB] est le centre d'un cercle pasant par A et B , par définition d'un cercle ...

OK, ma question était stupide...

autre idée:
sur mon raisonnement similaire, j'ai écrit OH < r
je pense que cela justifie qu'il existe deux points, non?

de toute façon , il y a bien un moment où on admet certaines choses sinon on a du mal à avancer ...
Mais danskala, moi aussi j'aime bien toujours me demander si je connais bien les causes de tout ce que j'utilise !

petite remarque: toute question n'est jamais stupide, du moment qu'on y a réfléchi
enfin, c'est ce que je dis toujours et c'est ma devise

je pense que lorsqu'on se pose des questions de ce genre, on est mieux préparer pour affronter les questions des élèves

tener, j'ouvre un topic sur un problème que je sais résoudre, mais qu'un élève de 5ème m'a un jour posé
le titre du topic: angle dans un quadrilatère.

Oui, je suis d'accord avec toi et cela permet parfois de rentrer profondément dans les choses. Et les résultats les plus simples, qui paraissent les plus intuitifs, sont souvent les plus difficiles à démontrer.

en effet
(mon exo est dans le forum collège )