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Problème de compréhension d un exercice sur les racines n-ièmes

Posté par DJ Bugger (invité) 11-04-05 à 21:49

Bonjour,

En cours j'ai eu un exo et la consigne était la suivante :

\fbox{Resoudre \hspace{5} dans \hspace{5} [0;+\infty [, \hspace{5} l'inequation \red \sqrt[6]{x} \le 8 \sqrt[12]{x^{11}}}

Comme solutions j'ai trouvé x=0 ou x>1/16, mais ma prof me dit que 0 n'est pas solution, alors que sur les calculatrices cela fonctionne parfaitement.

Voici ma démarche :
\sqrt[6]{x} \le 8 \sqrt[12]{x^{11}}
\Longleftrightarrow x^{\frac{2}{12}} \le 8x^{\frac{11}{12}}
\Longleftrightarrow 8x^{\frac{9}{12}} \ge 1 si x est non nul
avec x non nul j'aboutis à x \ge \frac{1}{16} et x=0 fonctionne aussi

Ma prof affirme que le passage de la deuxième à la troisième étape implique nécessairement que x est non nul.

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
H_aldnoerre : Problème de compréhension d un exercice sur les racines n-i 11-04-05 à 22:01

slt


je pense que ta prof a entierement raison car un quotient dont le denominateur est nul n'existe pas soit :

4$\textrm x^{\frac{2}{12}}\le8x^{\frac{11}{12}}\Longleftrightarrow\frac{x^{\frac{2}{12}}}{x^{\frac{2}{12}}}\le8.\frac{x^{\frac{11}{12}}}{x^{\frac{2}{12}}} pour tout x\neq0


@+ sur l'ile _aldo_

Posté par
rene38re : Problème de compréhension d un exercice sur les racines n-i 11-04-05 à 23:39

Bonsoir
Il est certain que le passage de la 2ème à la 3ème ligne
(multiplication des 2 membres par x^{-\frac{1}{6}})
suppose quex^{-\frac{1}{6}} existe donc x0
Personnellement, voici comment j'aurais répondu :

0 est solution triviale de l'inéquation.
Dans ]0 ; +[ ...
et là, ce que tu as écrit après "Voici ma démarche :" sans les considérations concernant 0.

En terminant par (résoudre, c'est trouver l'ensemble des solutions) :
L'ensemble des solutions est {0} [\frac{1}{16} ; +\infty] = + \ ]0 ; \frac{1}{16}[

Posté par
rene38re : Problème de compréhension d un exercice sur les racines n-i 11-04-05 à 23:42

fausse manip de crochet :
{0}[\frac{1}{16} ; +\infty[

Posté par DJ Bugger (invité)re : Problème de compréhension d un exercice sur les racines n-i 14-04-05 à 07:38

merci beaucoup à tous les deux

Posté par philoux (invité)re : Problème de compréhension d un exercice sur les racines n-i 14-04-05 à 10:54

>Bonjour,

Moi je pense que 0 est solution en procédant ainsi :

Déjà Df=R+
ensuite 2 termes positifs, je les élève tous les 2 à la puissance 12 sans changer le sens de l'inéq.
x²<=812.x11
812.x11-x²>=0
x²(812.x9-1)>=0
=> x² tjs>=0 donc x=0 solution
et 812.x9-)>=0
suite connue plus haut

Y voyez-vous une erreur de raisonnement, j'suis pas sûr...


Philoux


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