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Ta méthode me semble très intéressante , pratique et rapide.
Mais j'aurai besoin d'aide pour la maîtriser ^^".
Il faut trouver m tel que les droites rouges coupent le cercle en 1 et -1 c'est cela?

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y = 2-mx
x²+(2-mx)² <= 1
(m²+1)x² - 4mx + 4 <= 1
(m²+1)x² - 4mx + 3 <= 0
La courbe du membre de gauche est une parabole en forme de V, étant donné que m²+1 est positif.
Le discriminant est 16m² - 4*3(m²-1) = 4m²-4.
Il est nul quand m = 1 ou m = -1 et alors le système a une solution unique.
Il est positif quand m > 1 ou m < -1 et alors le système a une infinité de solutions.
Il est négatif quand -1 < m < 1 et alors le système n'a pas de solution.

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Pourtant le résultat attendu est 3 et -3 à la place des "1"

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Je me suis trompé dans le calcul du discriminant.
C'est 4m²-12.
Le discriminant est nul quand m = V3 ou m = -V3, et alors le système a une solution unique.
A l'extérieur de ces valeurs de m, il est positif et le système a une infinité de solution.
Entre ces valeurs de m, il est négatif et le système n'a pas de solution.